En la geometría algebraica , un espacio ponderado proyectivo P ( un 0 , ..., un n ) es la variedad proyectiva Proj ( k [ x 0 , ..., x n ]) asociado al anillo graduado k [ x 0 ,. .., x n ] donde la variable x k tiene un grado a k .
Propiedades
- Si d es un entero positivo, entonces P ( a 0 , a 1 , ..., a n ) es isomorfo a P ( da 0 , da 1 , ..., da n ). Esta es una propiedad de la construcción Proj ; geométricamente corresponde a la incrustación d -tupla Veronese . Entonces, sin perder la generalidad, se puede suponer que los grados a i no tienen un factor común.
- Supongamos que a 0 , a 1 , ..., a n no tienen un factor común, y que d es un factor común de todas las a i con i ≠ j , entonces P ( a 0 , a 1 , ..., a n ) es isomorfo a P ( un 0 / d, ..., un j-1 / d, un j , un j + 1 / d, ..., un n / d) (nota que d es decir primos entre sí a una j ; de lo contrario, el isomorfismo no se cumple). Por tanto, se puede suponer además que cualquier conjunto de n variables a i no tiene un factor común. En este caso, el espacio proyectivo ponderado se llama bien formado .
- Las únicas singularidades del espacio proyectivo ponderado son las singularidades del cociente cíclico.
- Un espacio proyectivo ponderado es una variedad Q- Fano [1] y una variedad tórica .
- El espacio proyectivo ponderado P ( a 0 , a 1 , ..., a n ) es isomorfo al cociente del espacio proyectivo por el grupo que es el producto de los grupos de raíces de unidad de órdenes a 0 , a 1 ,. .., un n actuando en diagonal. [2]
Referencias
- ^ M. Rossi y L. Terracini, Álgebra lineal y datos tóricos de espacios proyectivos ponderados. Desgarrar. Semin. Estera. Univ. Politec. Torino 70 (2012), núm. 4, 469--495, proposición 8
- ^ Esto debe entenderse como un cociente GIT . En un contexto más general, se puede hablar de una pila proyectiva ponderada . Consulte https://mathoverflow.net/questions/136888/ .
- Dolgachev, Igor (1982), "Variedades proyectivas ponderadas", Acciones grupales y campos vectoriales (Vancouver, BC, 1981) , Lecture Notes in Math., 956 , Berlín: Springer, págs. 34-71, CiteSeerX 10.1.1.169.5185 , doi : 10.1007 / BFb0101508 , ISBN 978-3-540-11946-3, MR 0704986
- Hosgood, Timothy (2016), Introducción a las variedades en el espacio proyectivo ponderado , arXiv : 1604.02441 , Bibcode : 2016arXiv160402441H
- Reid, Miles (2002), Anillos graduados y variedades en el espacio proyectivo ponderado (PDF)