En geometría algebraica , una variedad de Fano , introducida por Gino Fano en ( Fano 1934 , 1942 ), es una variedad completa X cuyo paquete anticanónico K X * es amplio . En esta definición, se podría suponer que X es suave sobre un campo, pero el programa de modelo mínimo también ha llevado al estudio de variedades de Fano con varios tipos de singularidades, como singularidades terminales o klt .
Ejemplos de
- El ejemplo fundamental de las variedades Fano son los espacios proyectivos : el haz de líneas anticanónicas de P n sobre un campo k es O ( n +1), que es muy amplio (sobre los números complejos, su curvatura es n + 1 veces la Fubini– Estudiar forma simpléctica).
- Sea D una subvariedad de codimensión 1 suave en P n . La fórmula adjunta implica que K D = ( K X + D ) | D = (- ( n +1) H + grados ( D ) H) | D , donde H es la clase de un hiperplano. La hipersuperficie D es, por tanto, Fano si y solo si deg ( D ) < n +1.
- De manera más general, una intersección completa suave de hipersuperficies en el espacio proyectivo n- dimensional es Fano si y solo si la suma de sus grados es como máximo n .
- El espacio proyectivo ponderado P ( a 0 , ..., a n ) es una variedad Fano singular ( klt ). Este es el esquema proyectivo asociado a un anillo polinomial graduado cuyos generadores tienen grados a 0 , ..., a n . Si está bien formado, en el sentido de que ningún n de los números a tiene un factor común mayor que 1, entonces cualquier intersección completa de hipersuperficies tal que la suma de sus grados sea menor que a 0 + ... + a n es una variedad Fano.
- Toda variedad proyectiva en la característica cero que es homogénea bajo un grupo algebraico lineal es Fano.
Algunas propiedades
La existencia de algún paquete de líneas amplio en X es equivalente a que X sea una variedad proyectiva , por lo que una variedad Fano siempre es proyectiva. Para una variedad X de Fano sobre los números complejos, el teorema de desaparición de Kodaira implica que los grupos de cohomología de la gavillade la estructura de la gavilla se desvanecen por. En particular, el género Todd automáticamente es igual a 1. El Los casos de esta declaración de desaparición también nos dicen que la primera clase de Chern induce un isomorfismo.
Según la solución de Yau de la conjetura de Calabi , una variedad compleja suave admite métricas de Kähler de curvatura de Ricci positiva si y solo si es Fano. Por lo tanto, el teorema de Myers nos dice que la cubierta universal de una variedad Fano es compacta y, por lo tanto, solo puede ser una cubierta finita. Sin embargo, acabamos de ver que el género Todd de una variedad Fano debe ser igual a 1. Dado que esto también se aplicaría a la cobertura universal de la variedad, y dado que el género Todd es multiplicativo bajo cubiertas finitas, se deduce que cualquier variedad Fano está simplemente conectada .
Un hecho mucho más fácil es que cada variedad Fano tiene una dimensión Kodaira −∞.
Campana y Kollár - Miyaoka - Mori demostraron que una variedad suave de Fano sobre un campo algebraicamente cerrado está racionalmente conectada en cadena ; es decir, dos puntos cerrados cualesquiera pueden conectarse mediante una cadena de curvas racionales . [1] Kollár-Miyaoka-Mori también mostró que las variedades suaves de Fano de una dimensión dada sobre un campo algebraicamente cerrado de característica cero forman una familia acotada, lo que significa que se clasifican por los puntos de un número finito de variedades algebraicas. [2] En particular, solo hay un número finito de clases de deformación de variedades Fano de cada dimensión. En este sentido, las variedades Fano son mucho más especiales que otras clases de variedades como las variedades de tipo general .
Clasificación en pequeñas dimensiones
La siguiente discusión se refiere a las variedades suaves de Fano sobre los números complejos.
Una curva de Fano es isomorfa a la línea proyectiva .
Una superficie Fano también se llama superficie del Pezzo . Cada superficie del Pezzo es isomorfa a P 1 × P 1 o al plano proyectivo volado en un máximo de 8 puntos, que deben estar en posición general. Como resultado, todos son racionales .
En la dimensión 3, hay variedades Fano complejas lisas que no son racionales, por ejemplo, 3 pliegues cúbicos en P 4 (por Clemens - Griffiths ) y 3 pliegues cuárticos en P 4 (por Iskovskikh - Manin ). Iskovskih ( 1977 , 1978 , 1979 ) clasificó los 3 pliegues lisos de Fano con el segundo número Betti 1 en 17 clases, y Mori y Mukai (1981) clasificaron los lisos con el segundo número Betti al menos 2, encontrando 88 clases de deformación. En Iskovskikh y Prokhorov (1999) se ofrece un resumen detallado de la clasificación de los 3 pliegues lisos de Fano .
Ver también
- Tabla periódica de formas un proyecto para clasificar todas las variedades de Fano en tres, cuatro y cinco dimensiones.
Notas
- ^ J. Kollár. Curvas racionales sobre variedades algebraicas. Teorema V.2.13.
- ^ J. Kollár. Curvas racionales sobre variedades algebraicas. Corolario V.2.15.
enlaces externos
- Fanografía : una herramienta para estudiar visualmente la clasificación de variedades de Fano tridimensionales.
Referencias
- Fano, Gino (1934), "Sulle varietà algebriche a tre dimensioni aventi tutti i generi nulli", Proc. Internat. Congress Mathematicians (Bolonia), 4, Zanichelli , págs. 115-119
- Fano, Gino (1942), "Su alcune varietà algebriche a tre dimensioni razionali, e aventi curve-sezioni canoniche" , Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 202–211, doi : 10.1007 / BF02565618 , ISSN 0010-2571 , MR 0006445[ enlace muerto permanente ]
- Iskovskih, VA (1977), "Fano triple. I", Matemáticas. URSS Izv. , 11 (3): 485–527, doi : 10.1070 / IM1977v011n03ABEH001733 , ISSN 0373-2436 , MR 0463151
- Iskovskih, VA (1978), "Fano 3-Folds II", Math USSR Izv. , 12 (3): 469–506, doi : 10.1070 / im1978v012n03abeh001994 , MR 0463151
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- Iskovskikh, VA; Prokhorov, Yu. G. (1999), "Variedades Fano", en AN Parshin; IR Shafarevich (eds.), Geometría algebraica, V. Encyclopedia Math. Sci., 47 , Springer-Verlag , págs. 1–247, ISBN 3-540-61468-0, MR 1668579
- Kollár, János (1996), Curvas racionales sobre variedades algebraicas , Berlín, Heidelberg: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-03276-3 , ISBN 978-3-642-08219-1, MR 1440180
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- Mori, Shigefumi; Mukai, Shigeru (2003), "Erratum:" Classification of Fano 3-pliegues con B 2 ≥2 " ", Manuscripta Mathematica , 110 (3): 407, doi : 10.1007 / s00229-002-0336-2 , ISSN 0025- 2611 , MR 1969009