En geometría algebraica , un cociente GIT afín , o un cociente de teoría invariante geométrica afín , de un esquema afíncon una acción de un esquema de grupo G es el esquema afín, el espectro primo del anillo de invariantes de A , y se denota por. Un cociente GIT es un cociente categórico : cualquier morfismo invariante factoriza de forma única a través de él.
Tomando Proj (de un anillo graduado ) en lugar de, se obtiene un cociente proyectivo GIT (que es un cociente del conjunto de puntos semiestables ).
Un cociente GIT es un cociente categórico del lugar geométrico de los puntos semiestables; es decir, "el" cociente del locus semiestable. Dado que el cociente categórico es único, si hay un cociente geométrico , entonces las dos nociones coinciden: por ejemplo, uno tiene
para un grupo algebraico G sobre un campo k y cerrado subgrupo H .
Si X es una variedad proyectiva suave compleja y si G es un grupo de Lie complejo reductivo , entonces el cociente GIT de X por G es homeomorfo al cociente simpléctico de X por un subgrupo compacto máximo de G ( teorema de Kempf-Ness ).
Construcción de un cociente GIT
Deje que G sea un grupo reductor que actúa sobre un esquema de cuasi-proyectiva X sobre un campo y L una amplia línea paquete linealizado en X . Dejar
ser el anillo de la sección. Por definición, el locus semiestable es el complemento del conjunto cero en X ; en otras palabras, es la unión de todos los subconjuntos abiertospara las secciones mundial s de, n grande. Por amplitud, cadaes afín; decir y así podemos formar el cociente GIT afín
- .
Tenga en cuenta que es de tipo finito según el teorema de Hilbert sobre el anillo de invariantes . Por propiedad universal de los cocientes categóricos , estos cocientes afines se pegan y dan como resultado
- ,
que es el cociente GIT de X con respecto a L . Tenga en cuenta que si X es proyectiva; es decir, es el Proj de R , entonces el cocientese da simplemente como el Proj del anillo de invariantes .
El caso más interesante es cuando el locus estable [1] no está vacío; es el conjunto abierto de puntos semiestables que tienen estabilizadores finitos y órbitas que están cerradas en . En tal caso, el cociente GIT se restringe a
- ,
que tiene la propiedad: cada fibra es una órbita. Es decir,es un cociente genuino (es decir, cociente geométrico ) y se escribe. Por eso, cuando no está vacío, el cociente GIT se refiere a menudo como un "compactificación" de un cociente geométrica de un subconjunto abierto de X .
Una pregunta difícil y aparentemente abierta es: ¿qué cociente geométrico surge en la forma de GIT anterior? La pregunta es de gran interés ya que el enfoque GIT produce un cociente explícito , en contraposición a un cociente abstracto, que es difícil de calcular. Una respuesta parcial conocida a esta pregunta es la siguiente: [2] dejeser una variedad algebraica factorial local (por ejemplo, una variedad suave) con una acción de. Supongamos que hay un subconjunto abierto así como un cociente geométrico tal que (1) es un morfismo afín y (2)es cuasi proyectivo. Luegopor alguna línea paquete linearlized L en X . (Una pregunta análoga es determinar qué subanillo es el anillo de invariantes de alguna manera).
Ejemplos de
Acción de grupo finito por
Un ejemplo simple de un cociente GIT viene dado por el -acción en enviando
Note que los monomios generar el anillo . Por tanto, podemos escribir el anillo de invariantes como
Esquema teóricamente, obtenemos el morfismo
que es una subvariedad singular de con singularidad aislada en . Esto se puede comprobar utilizando los diferenciales, que son
de ahí el único punto donde el diferencial y el polinomio ambos desaparecen en el origen. El cociente obtenido es una superficie cónica con un doble punto ordinario en el origen.
Acción de toro en avión
Considere la acción del toroide de en por . Tenga en cuenta que esta acción tiene algunas órbitas: el origen, los ejes perforados, , y las afines cónicas dadas por para algunos . Entonces, el cociente GIT tiene estructura gavilla que es el subanillo de polinomios , por lo tanto, es isomorfo . Esto da el cociente GIT
Observe la imagen inversa del punto. está dado por las órbitas , mostrar el cociente GIT no es necesariamente un espacio orbital. Si lo fuera, habría tres orígenes, un espacio no separado. [3]
Ver también
Notas
- ^ NB: En ( MFK ) , se le llamó el conjunto de puntos adecuadamente estables
- ^ MFK , Converse 1.13. NB: aunque el resultado se indica para una variedad suave, la prueba allí es válida para uno factorial local.
- ^ Thomas, Richard P. (2006). "Notas sobre GIT y reducción simpléctica para paquetes y variedades". Levantamientos en Geometría Diferencial . Prensa Internacional de Boston. 10 (1): 221-273. arXiv : matemáticas / 0512411 . doi : 10.4310 / sdg.2005.v10.n1.a7 . ISSN 1052-9233 . Señor 2408226 . S2CID 16294331 .
Referencias
Pedagógico
- Mukai, Shigeru (2002). Introducción a invariantes y módulos . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 81 . ISBN 978-0-521-80906-1.
- Brion, Michel. "Introducción a las acciones de grupos algebraicos" (PDF) .
- Laza, Radu (15 de marzo de 2012). "GIT y módulos con un toque". arXiv : 1111.3032 [ math.AG ].
- Thomas, Richard P. (2006). "Notas sobre GIT y reducción simpléctica para paquetes y variedades". Un tributo al profesor S.-S. Chern . Levantamientos en Geometría Diferencial. 10 . págs. 221-273. arXiv : matemáticas / 0512411 . doi : 10.4310 / SDG.2005.v10.n1.a7 . Señor 2408226 . S2CID 16294331 .
Referencias
- Alper, Jarod (14 de abril de 2008). "Buenos módulos de espacios para pilas Artin". arXiv : 0804.2242 [ math.AG ].
- Doran, Brent; Kirwan, Frances (2007). "Hacia la teoría invariante geométrica no reductiva". Matemáticas puras y aplicadas trimestralmente . 3 (1, Número especial: En honor a Robert D. MacPherson. Parte 3): 61–105. arXiv : matemáticas / 0703131 . Bibcode : 2007math ...... 3131D . doi : 10.4310 / PAMQ.2007.v3.n1.a3 . Señor 2330155 . S2CID 3190064 .
- Hoskins, Victoria. "Cocientes en geometría algebraica y simpléctica" .
- Kirwan, Frances C. (1984). Cohomología de cocientes en geometría compleja y algebraica . Notas matemáticas. 31 . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press .
- Mumford, David ; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría geométrica invariante . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (2)]. 34 (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-56963-3. Señor 1304906 .