En la teoría de funciones especiales , la transformación de Whipple para las funciones de Legendre , que lleva el nombre de Francis John Welsh Whipple , surge de una expresión general, relativa a las funciones de Legendre asociadas . Estas fórmulas se han presentado anteriormente en términos de un punto de vista dirigido a armónicos esféricos , ahora que vemos las ecuaciones en términos de coordenadas toroidales , surgen simetrías completamente nuevas de funciones de Legendre.
Para las funciones asociadas de Legendre del primer y segundo tipo,
y
Estas expresiones son válidas para todos los parámetros. y . Al cambiar el grado y el orden del complejo de una manera apropiada, obtenemos fórmulas de Whipple para el intercambio de índices complejos generales de funciones de Legendre asociadas generales del primer y segundo tipo. Estos son dados por
y
Tenga en cuenta que estas fórmulas se comportan bien para todos los valores de grado y orden, excepto para aquellos con valores enteros. Sin embargo, si examinamos estas fórmulas para armónicos toroidales, es decir, donde el grado es medio entero, el orden es entero y el argumento es positivo y mayor que la unidad, se obtiene
y
- .
Estas son las fórmulas de Whipple para armónicos toroidales. Muestran una propiedad importante de los armónicos toroidales en el intercambio de índices (los enteros asociados con el orden y el grado).