Teorema de incrustación de Whitney
En matemáticas , particularmente en topología diferencial , hay dos teoremas de incrustación de Whitney, llamados así por Hassler Whitney :
El esquema general de la prueba es comenzar con una inmersión f : M → R 2 m con autointersecciones transversales . Se sabe que existen a partir del trabajo anterior de Whitney sobre el teorema de inmersión débil . La transversalidad de los puntos dobles se deriva de un argumento de posición general. La idea es eliminar de alguna manera todas las autointersecciones. Si M tiene límite, se pueden eliminar las autointersecciones simplemente isotopizando M en sí mismo (la isotopía está en el dominio de f ), en una subvariedad de M que no contiene los puntos dobles. Por lo tanto, nos vemos llevados rápidamente al caso en el queM no tiene límite. A veces es imposible eliminar los puntos dobles a través de una isotopía; considere, por ejemplo, la inmersión en forma de 8 del círculo en el plano. En este caso, es necesario introducir un punto doble local.
Una vez que uno tiene dos puntos dobles opuestos, construye un lazo cerrado que conecta los dos, dando un camino cerrado en R 2 m . Dado que R 2 m es simplemente conexo , se puede suponer que esta trayectoria limita un disco, y siempre que 2 m > 4 se puede suponer además (mediante el teorema de incrustación débil de Whitney ) que el disco está incrustado en R 2 m de forma que interseca la imagen de M sólo en su frontera. Whitney luego usa el disco para crear una familia de inmersiones de 1 parámetro , en efecto empujando Ma través del disco, eliminando los dos puntos dobles en el proceso. En el caso de la inmersión en forma de 8 con su punto doble introducido, el movimiento de empuje transversal es bastante simple (en la imagen).
Este proceso de eliminar los puntos dobles de signos opuestos empujando la variedad a lo largo de un disco se llama el truco de Whitney .
Para introducir un punto doble local, Whitney creó inmersiones α m : R m → R 2 m que son aproximadamente lineales fuera de la bola unitaria, pero que contienen un único punto doble. Para m = 1 tal inmersión viene dada por
Para mayores dimensiones m , hay α m que pueden resolverse de manera similar en R 2 m +1 . Para una incrustación en R 5 , por ejemplo, defina
