En matemáticas , la transversalidad es una noción que describe cómo los espacios pueden cruzarse; la transversalidad puede verse como el "opuesto" de la tangencia , y juega un papel en la posición general . Formaliza la idea de una intersección genérica en topología diferencial . Se define considerando las linealizaciones de los espacios que se cruzan en los puntos de intersección.
Definición
Se dice que dos subvariedades de una variedad lisa de dimensión finita dada se cruzan transversalmente si en cada punto de intersección , sus espacios tangentes separados en ese punto generan juntos el espacio tangente de la variedad ambiental en ese punto. [1] Los colectores que no se cruzan son transversales al vacío . Si los colectores son de dimensión complementaria (es decir, sus dimensiones se suman a la dimensión del espacio ambiental ), la condición significa que el espacio tangente al colector ambiental es la suma directa de los dos espacios tangentes más pequeños. Si una intersección es transversal, entonces la intersección será una subvariedad cuya codimensión es igual a las sumas de las codimensiones de las dos variedades. En ausencia de la condición de transversalidad, la intersección puede dejar de ser una subvariedad, teniendo algún tipo de punto singular .
En particular, esto significa que las subvariedades transversales de dimensión complementaria se cruzan en puntos aislados (es decir, una variedad 0 ). Si ambos sub-colectores y el colector ambiental están orientados , su intersección está orientada. Cuando la intersección es de dimensión cero, la orientación es simplemente un más o un menos para cada punto.
Una notación para la intersección transversal de dos subvariedades y de una variedad dada es . Esta notación se puede leer de dos formas: como " y intersecar transversalmente ”o como una notación alternativa para la intersección de la teoría de conjuntos de y cuando esa intersección es transversal. En esta notación, la definición de transversalidad se lee
Transversalidad de mapas
La noción de transversalidad de un par de subvariedades se extiende fácilmente a la transversalidad de una subvarietal y un mapa a la variedad ambiental, o a un par de mapas a la variedad ambiental, preguntando si el empuje hacia adelante de los espacios tangentes a lo largo de la preimagen de puntos de intersección de las imágenes generan todo el espacio tangente de la variedad ambiental. [2] Si los mapas son incrustaciones , esto equivale a la transversalidad de las subvariedades.
Significado de transversalidad para diferentes dimensiones
Supongamos que tenemos mapas transversales y dónde y son colectores con dimensiones y respectivamente.
El significado de transversalidad difiere mucho en función de las dimensiones relativas de y . La relación entre transversalidad y tangencia es más clara cuando.
Podemos considerar tres casos separados:
- Cuándo , es imposible que la imagen de y espacios tangentes para abarcar espacio tangente en cualquier punto. Así, cualquier intersección entre y no puede ser transversal. Sin embargo, los colectores que no se cruzan satisfacen la condición de manera vacía, por lo que se puede decir que se cruzan transversalmente.
- Cuándo , la imagen de y Los espacios tangentes deben sumar directamente a Espacio tangente en cualquier punto de intersección. Por tanto, su intersección consiste en puntos aislados con signo, es decir, una variedad de dimensión cero.
- Cuándo esta suma no tiene por qué ser directa. De hecho, no puede ser directo si y son inmersiones en su punto de intersección, como sucede en el caso de las subvariedades incrustadas. Si los mapas son inmersiones, la intersección de sus imágenes será una variedad de dimensiones.
Producto de intersección
Dados cualesquiera dos subcolectores lisos, es posible perturbar cualquiera de ellos en una cantidad arbitrariamente pequeña de modo que el sub colector resultante se interseque transversalmente con el sub colector fijo. Tales perturbaciones no afectan la clase de homología de las variedades o de sus intersecciones. Por ejemplo, si las variedades de dimensión complementaria se intersecan transversalmente, la suma con signo del número de sus puntos de intersección no cambia incluso si isótopo las variedades a otra intersección transversal. (Los puntos de intersección se pueden contar módulo 2, ignorando los signos, para obtener un invariante más grueso). Esto desciende a un producto de intersección bilineal en clases de homología de cualquier dimensión, que es Poincaré dual al producto de copa en cohomología . Al igual que el producto de taza, el producto de intersección es graduado-conmutativo .
Ejemplos de intersecciones transversales
El ejemplo no trivial más simple de transversalidad es el de arcos en una superficie . Un punto de intersección entre dos arcos es transversal si y solo si no es una tangencia, es decir, sus líneas tangentes dentro del plano tangente a la superficie son distintas.
En un espacio tridimensional, las curvas transversales no se cruzan. Las curvas transversales a las superficies se cruzan en puntos y las superficies transversales entre sí se cruzan en curvas. Las curvas que son tangentes a una superficie en un punto (por ejemplo, curvas que se encuentran en una superficie) no intersecan la superficie transversalmente.
Aquí hay un ejemplo más especializado: suponga que es un simple grupo de mentiras yes su álgebra de Lie. Según el teorema de Jacobson-Morozov, cada elemento nilpotente se puede incluir en un -triple . La teoría de la representación de nos dice que . El espacioes el espacio tangente en a la órbita adyacente y así el espacio afín intersecta la órbita de transversalmente. El espaciose conoce como el "segmento Slodowy" en honor a Peter Slodowy .
Aplicaciones
Control optimo
En los campos que utilizan el cálculo de variaciones o el principio máximo de Pontryagin relacionado , la condición de transversalidad se usa con frecuencia para controlar los tipos de soluciones que se encuentran en los problemas de optimización. Por ejemplo, es una condición necesaria para las curvas de solución de problemas de la forma:
- Minimizar donde uno o ambos puntos finales de la curva no son fijos.
En muchos de estos problemas, la solución satisface la condición de que la curva solución debe cruzar transversalmente la línea nula o alguna otra curva que describa las condiciones terminales.
Suavidad de los espacios de solución
Utilizando el teorema de Sard , cuya hipótesis es un caso especial de transversalidad de mapas, se puede demostrar que las intersecciones transversales entre subvariedades de un espacio de dimensiones complementarias o entre subvariedades y mapas de un espacio son en sí mismas subvariedades suaves. Por ejemplo, si una sección suave del paquete tangente de una variedad orientada, es decir, un campo vectorial, se ve como un mapa desde la base hasta el espacio total, y se cruza con la sección cero (vista como un mapa o como una subvarietal) transversalmente , entonces el conjunto cero de la sección, es decir, las singularidades del campo vectorial, forma una subvariedad 0 dimensional suave de la base, es decir, un conjunto de puntos con signo. Los signos concuerdan con los índices del campo vectorial y, por tanto, la suma de los signos, es decir, la clase fundamental del conjunto cero, es igual a la característica de Euler de la variedad. De manera más general, para un paquete de vectores sobre una variedad de dimensión finita cerrada, suave y orientada, el conjunto cero de una sección transversal a la sección cero será una subvariedad de la base de codimensión igual al rango del paquete de vectores y su clase de homología será Poincaré dual a la clase Euler del paquete.
Un caso extremadamente especial de esto es el siguiente: si una función diferenciable de reales a reales tiene una derivada distinta de cero en un cero de la función, entonces el cero es simple, es decir, la gráfica es transversal al eje x en ese cero; una derivada cero significaría una tangente horizontal a la curva, que estaría de acuerdo con el espacio tangente al eje x .
Para un ejemplo de dimensión infinita, el operador de barra d es una sección de un cierto paquete de espacio de Banach sobre el espacio de mapas desde una superficie de Riemann en una variedad casi compleja . El conjunto cero de esta sección consta de mapas holomórficos. Si se puede demostrar que el operador de la barra d es transversal a la sección cero, este espacio de módulos será una variedad uniforme. Estas consideraciones juegan un papel fundamental en la teoría de las curvas pseudoholomorfas y en la teoría de Gromov-Witten . (¡Tenga en cuenta que para este ejemplo, la definición de transversalidad debe refinarse para tratar los espacios de Banach !)
Gramática
"Transversal" es un sustantivo; el adjetivo es "transversal".
cita de JHC Whitehead, 1959 [3]
Ver también
- Teorema de transversalidad
Notas
- ^ Guillemin y Pollack 1974, p.30.
- ^ Guillemin y Pollack 1974, p.28.
- ↑ Hirsch (1976), p. 66
Referencias
- Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés differentiables". Comm. Matemáticas. Helv. 28 (1): 17–86. doi : 10.1007 / BF02566923 .
- Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Topología diferencial . Prentice Hall. ISBN 0-13-212605-2.
- Hirsch, Morris (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.