En la teoría de la probabilidad , el producto de Wick es una forma particular de definir un producto ajustado de un conjunto de variables aleatorias . En el producto de menor orden el ajuste corresponde a restar el valor medio, para dejar un resultado cuya media es cero. Para los productos de orden superior, el ajuste implica restar productos de orden inferior (ordinarios) de las variables aleatorias, de forma simétrica, dejando de nuevo un resultado cuya media es cero. El producto de Wick es una función polinomial de las variables aleatorias, sus valores esperados y los valores esperados de sus productos.
La definición del producto de Wick conduce inmediatamente a la potencia de Wick de una única variable aleatoria y esto permite definir análogos de otras funciones de variables aleatorias sobre la base de reemplazar las potencias ordinarias en una expansión de series de potencia por las potencias de Wick. Los poderes de Wick de las variables aleatorias que se ven comúnmente se pueden expresar en términos de funciones especiales como los polinomios de Bernoulli o los polinomios de Hermite .
El producto Wick lleva el nombre del físico Gian-Carlo Wick , cf. Teorema de Wick .
Definición
Suponga que X 1 , ..., X k son variables aleatorias con momentos finitos . El producto Wick
es un tipo de producto definido recursivamente de la siguiente manera: [ cita requerida ]
(es decir, el producto vacío, el producto de ninguna variable aleatoria, es 1). Para k ≥ 1, imponemos el requisito
dónde significa que X i está ausente, junto con la restricción de que el promedio es cero,
Ejemplos de
Resulta que
Otra convención de notación
En la notación convencional entre los físicos, el producto de Wick a menudo se denota así:
y la notación de corchetes angulares
se utiliza para denotar el valor esperado de la variable aleatoria X .
Poderes de mecha
La n- ésima potencia de Wick de una variable aleatoria X es el producto de Wick
con n factores.
La secuencia de polinomios P n tal que
forman una secuencia de Appell , es decir, satisfacen la identidad
para n = 0, 1, 2, ... y P 0 ( x ) es una constante distinta de cero.
Por ejemplo, se puede demostrar que si X se distribuye uniformemente en el intervalo [0, 1], entonces
donde B n es el polinomio de Bernoulli de n -ésimo grado . De manera similar, si X se distribuye normalmente con varianza 1, entonces
donde H n es el n- ésimo polinomio de Hermite .
Teorema binomial
Mecha exponencial
Referencias
- Wick Product Springer Encyclopedia of Mathematics
- Florin Avram y Murad Taqqu , (1987) "Teoremas del límite no central y polinomios de Appell", Annals of Probability , volumen 15, número 2, páginas 767-775, 1987.
- Hida, T. e Ikeda, N. (1967) "Análisis del espacio de Hilbert con kernel de reproducción que surge de la integral de Wiener múltiple". Proc. Quinto Simposio de Berkeley. Matemáticas. Estadístico. y probabilidad (Berkeley, California, 1965/66). Vol. II: Contribuciones a la teoría de la probabilidad, Parte 1 págs. 117–143 Univ. Prensa de California
- Wick, GC (1950) "La evaluación de la matriz de colisión". Rev. Física 80 (2), 268–272.
- Hu, Yao-zhong; Yan, Jia-an (2009) "Cálculo de mecha para funcionales gaussianos no lineales" , Acta Mathematicae Applicatae Sinica (Serie en inglés) , 25 (3), 399–414 doi : 10.1007 / s10255-008-8808-0