En matemáticas , específicamente en combinatoria , un par de Wilf-Zeilberger , o par WZ , es un par de funciones que se pueden usar para certificar ciertas identidades combinatorias . Los pares WZ llevan el nombre de Herbert S. Wilf y Doron Zeilberger , y son fundamentales en la evaluación de muchas sumas que involucran coeficientes binomiales , factoriales y, en general, cualquier serie hipergeométrica . La contraparte WZ de una función se puede usar para encontrar una suma equivalente y mucho más simple. Aunque encontrar pares de WZ a mano no es práctico en la mayoría de los casos,El algoritmo de Gosper proporciona un método seguro para encontrar la contraparte WZ de una función y se puede implementar en un programa de manipulación simbólica .
Definición
Dos funciones F y G forman un par WZ si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:
Juntas, estas condiciones aseguran que
porque la función G telescopios :
Por lo tanto,
es decir
La constante no depende de n . Su valor se puede encontrar sustituyendo n = n 0 por un n 0 particular .
Si F y G forman un par WZ, entonces satisfacen la relación
dónde es una función racional de n y k y se denomina certificado de prueba WZ .
Ejemplo
Se puede utilizar un par de Wilf-Zeilberger para verificar la identidad
Divida la identidad por su lado derecho:
Utilice el certificado de prueba
para verificar que el lado izquierdo no depende de n , donde
Ahora F y G forman un par de Wilf-Zeilberger.
Para probar que la constante en el lado derecho de la identidad es 1, sustituya n = 0, por ejemplo.
Referencias
- Marko Petkovsek ; Herbert Wilf y Doron Zeilberger (1996). A = B . AK Peters. ISBN 1-56881-063-6.
- Tefera, Akalu (2010), "¿Qué es ... una pareja de Wilf-Zeilberger?" (PDF) , Avisos de AMS , 57 (4): 508–509.
Ver también
- Método Almkvist-Zeilberger , un análogo del método WZ para evaluar integrales definidas .
enlaces externos
- El algoritmo de Gosper proporciona un método para generar pares WZ cuando existen.
- Generatingfunctionology proporciona detalles sobre el método WZ de certificación de identidad.