Vector de Witt

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En matemáticas , un vector de Witt es una secuencia infinita de elementos de un anillo conmutativo . Ernst Witt mostró cómo poner una estructura de anillo en el conjunto de vectores de Witt, de tal manera que el anillo de vectores de Witt sobre el campo finito de orden p sea ​​el anillo de enteros -ádicos . Tienen una estructura altamente no intuitiva ^[1] a primera vista porque su estructura aditiva y multiplicativa depende de un conjunto infinito de fórmulas recursivas que no se comportan como fórmulas de suma y multiplicación para enteros p-ádicos estándar. La idea principal ^[1]${\ Displaystyle W (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ Displaystyle p}$detrás de los vectores de Witt es en lugar de usar la expansión estándar -adic${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle a = a_ {0} + a_ {1} p + a_ {2} p ^ {2} + \ cdots}$

para representar un elemento en , podemos considerar en cambio una expansión usando el carácter Teichmuller${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$

${\ Displaystyle \ omega: \ mathbb {F} _ {p} ^ {*} \ to \ mathbb {Z} _ {p} ^ {*}}$

que envía cada elemento del conjunto de soluciones in a un elemento del conjunto de soluciones in . Es decir, expandimos elementos en términos de raíces de unidad en lugar de elementos lucrativos en . Entonces podemos expresar un entero -ádico como una suma infinita${\ displaystyle x ^ {p-1} -1}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ displaystyle x ^ {p-1} -1}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ prod \ mathbb {F} _ {p}}$${\ Displaystyle p}$

${\ Displaystyle \ omega (a) = \ omega (a_ {0}) + \ omega (a_ {1}) p + \ omega (a_ {2}) p ^ {2} + \ cdots}$

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