En matemáticas, la matriz de Wythoff es una matriz infinita de números enteros derivados de la secuencia de Fibonacci y que lleva el nombre del matemático holandés Willem Abraham Wythoff . Cada entero positivo ocurre exactamente una vez en la matriz, y cada secuencia de enteros definida por la recurrencia de Fibonacci se puede derivar cambiando una fila de la matriz.
La matriz de Wythoff fue definida por primera vez por Morrison (1980) utilizando pares de Wythoff, las coordenadas de las posiciones ganadoras en el juego de Wythoff . También se puede definir utilizando números de Fibonacci y el teorema de Zeckendorf , o directamente a partir de la proporción áurea y la relación de recurrencia que define los números de Fibonacci.
Valores
La matriz de Wythoff tiene los valores
Definiciones equivalentes
Inspirado por una matriz de Stolarsky similar previamente definida por Stolarsky (1977) , Morrison (1980) definió la matriz de Wythoff de la siguiente manera. Dejardenotar la proporción áurea ; entonces elLa posición ganadora en el juego de Wythoff está dada por el par de números enteros positivos, donde los números en los lados izquierdo y derecho del par definen dos secuencias Beatty complementarias que juntas incluyen cada entero positivo exactamente una vez. Morrison define los dos primeros números de la fila de la matriz para ser el par de Wythoff dado por la ecuación , y donde los números restantes en cada fila están determinados por la relación de recurrencia de Fibonacci. Es decir, si denota la entrada en fila y columna de la matriz, entonces
- ,
- , y
- por .
La representación de Zeckendorf de cualquier entero positivo es una representación como una suma de distintos números de Fibonacci, de los cuales no hay dos consecutivos en la secuencia de Fibonacci. Como describe Kimberling (1995) , los números dentro de cada fila de la matriz tienen una representación de Zeckendorf que se diferencia por una operación de desplazamiento entre sí, y los números dentro de cada columna tienen representaciones de Zeckendorf que usan el mismo número de Fibonacci más pequeño. En particular la entrada de la matriz es el el nmero ms pequeo cuya representacin de Zeckendorf comienza con el el número de Fibonacci.
Propiedades
Cada par de Wythoff aparece exactamente una vez en la matriz de Wythoff, como un par de números consecutivos en la misma fila, con un índice impar para el primer número y un índice par para el segundo. Debido a que cada entero positivo ocurre exactamente en un par de Wythoff, cada entero positivo ocurre exactamente una vez en la matriz ( Morrison 1980 ).
Cada secuencia de números enteros positivos que satisfacen la recurrencia de Fibonacci ocurre, desplazada como mucho en un número finito de posiciones, en la matriz de Wythoff. En particular, la secuencia de Fibonacci en sí es la primera fila, y la secuencia de números de Lucas aparece en forma desplazada en la segunda fila ( Morrison 1980 ).
Referencias
- Kimberling, Clark (1995), "La matriz de Zeckendorf es igual a la matriz de Wythoff" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 33 (1): 3-8.
- Morrison, DR (1980), "A Stolarsky array of Wythoff pairs", A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence (PDF) , Santa Clara, Calif: The Fibonacci Association, págs. 134-136.
- Stolarsky, KB (1977), "Un conjunto de secuencias de Fibonacci generalizadas de manera que cada número natural pertenece exactamente a uno" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 15 (3): 224.