La transformada Y-Δ , también escrita en estrella-delta y también conocida por muchos otros nombres, es una técnica matemática para simplificar el análisis de una red eléctrica . El nombre deriva de las formas de los diagramas de circuitos , que se parecen respectivamente a la letra Y y la letra mayúscula griega Δ . Esta teoría de la transformación de circuitos fue publicada por Arthur Edwin Kennelly en 1899. [1] Se usa ampliamente en el análisis de circuitos de energía eléctrica trifásicos .
La transformada Y-Δ puede considerarse un caso especial de la transformada de malla en estrella para tres resistencias . En matemáticas, la transformada Y-Δ juega un papel importante en la teoría de grafos planos circulares . [2]
Nombres
La transformada Y-Δ se conoce por una variedad de otros nombres, principalmente basados en las dos formas involucradas, enumeradas en cualquier orden. La Y , deletreada como estrella , también se puede llamar T o estrella ; el Δ , escrito como delta , también se puede llamar triángulo , Π (escrito como pi ) o malla . Por lo tanto, los nombres comunes para la transformación incluyen estrella-delta o delta-estrella , estrella-delta , estrella-malla o T-Π .
Transformación básica Y-Δ
La transformación se utiliza para establecer equivalencia para redes con tres terminales. Cuando tres elementos terminan en un nodo común y ninguno es fuente, el nodo se elimina transformando las impedancias. Por equivalencia, la impedancia entre cualquier par de terminales debe ser la misma para ambas redes. Las ecuaciones dadas aquí son válidas tanto para impedancias complejas como reales.
Ecuaciones para la transformación de Δ a Y
La idea general es calcular la impedancia en un nodo terminal del circuito Y con impedancias , a los nodos adyacentes en el circuito Δ por
dónde son todas impedancias en el circuito Δ. Esto produce las fórmulas específicas
Ecuaciones para la transformación de Y a Δ
La idea general es calcular una impedancia en el circuito Δ por
dónde es la suma de los productos de todos los pares de impedancias en el circuito Y y es la impedancia del nodo en el circuito Y que está opuesto al borde con . Las fórmulas para los bordes individuales son así
O, si usa la admisión en lugar de la resistencia:
Tenga en cuenta que la fórmula general de Y a Δ usando la admitancia es similar a Δ a Y usando la resistencia.
Una prueba de la existencia y singularidad de la transformación.
La viabilidad de la transformación se puede demostrar como consecuencia del teorema de superposición para circuitos eléctricos . Se puede dar una prueba breve, en lugar de una derivada como corolario de la transformada de malla de estrellas más general , de la siguiente manera. La equivalencia radica en la afirmación de que para cualquier voltaje externo ( y ) aplicando en los tres nodos ( y ), las corrientes correspondientes ( y ) son exactamente iguales para los circuitos Y y Δ, y viceversa. En esta prueba, comenzamos con corrientes externas dadas en los nodos. De acuerdo con el teorema de superposición, los voltajes se pueden obtener estudiando la superposición de los voltajes resultantes en los nodos de los siguientes tres problemas aplicados en los tres nodos con corriente:
- y
La equivalencia se puede mostrar fácilmente usando las leyes de circuito de Kirchhoff que. Ahora bien, cada problema es relativamente simple, ya que involucra una sola fuente de corriente ideal. Para obtener exactamente los mismos voltajes de resultado en los nodos para cada problema, las resistencias equivalentes en los dos circuitos deben ser las mismas, esto se puede encontrar fácilmente usando las reglas básicas de los circuitos en serie y en paralelo :
Aunque normalmente seis ecuaciones son más que suficientes para expresar tres variables () en términos de las otras tres variables (), aquí es sencillo mostrar que estas ecuaciones conducen a las expresiones diseñadas anteriormente.
De hecho, el teorema de superposición establece la relación entre los valores de las resistencias, el teorema de unicidad garantiza la unicidad de dicha solución.
Simplificación de redes
Las redes resistivas entre dos terminales teóricamente se pueden simplificar a una sola resistencia equivalente (más generalmente, lo mismo ocurre con la impedancia). Las transformaciones en serie y en paralelo son herramientas básicas para hacerlo, pero para redes complejas como el puente que se ilustra aquí, no son suficientes.
La transformada Y-Δ se puede utilizar para eliminar un nodo a la vez y producir una red que se puede simplificar aún más, como se muestra.
La transformación inversa, Δ-Y, que agrega un nodo, a menudo también es útil para allanar el camino para una mayor simplificación.
Cada red de dos terminales representada por un gráfico plano se puede reducir a una sola resistencia equivalente mediante una secuencia de transformaciones en serie, en paralelo, Y-Δ y Δ-Y. [3] Sin embargo, hay redes no planas que no se pueden simplificar usando estas transformaciones, como una cuadrícula cuadrada regular envuelta alrededor de un toro , o cualquier miembro de la familia Petersen .
Teoría de grafos
En la teoría de grafos , la transformada Y-Δ significa reemplazar un subgrafo Y de un gráfico con el subgrafo Δ equivalente. La transformación conserva el número de aristas en un gráfico, pero no el número de vértices o el número de ciclos . Se dice que dos gráficos son Y-Δ equivalentes si uno puede obtenerse del otro mediante una serie de transformadas Y-Δ en cualquier dirección. Por ejemplo, la familia Petersen es una clase de equivalencia Y-Δ .
Demostración
Ecuaciones de transformación de carga Δ a carga Y
Para relacionar desde Δ hasta a partir de Y, se compara la impedancia entre dos nodos correspondientes. La impedancia en cualquiera de las configuraciones se determina como si uno de los nodos estuviera desconectado del circuito.
La impedancia entre N 1 y N 2 con N 3 desconectado en Δ:
Para simplificar, dejemos ser la suma de .
Por lo tanto,
La impedancia correspondiente entre N 1 y N 2 en Y es simple:
por eso:
- (1)
Repitiendo para :
- (2)
y para :
- (3)
A partir de aquí, los valores de se puede determinar mediante combinación lineal (suma y / o resta).
Por ejemplo, sumando (1) y (3), luego restando (2) da como resultado
Por completitud:
- (4)
- (5)
- (6)
Ecuaciones de transformación de carga Y a carga Δ
Dejar
- .
Podemos escribir las ecuaciones de Δ a Y como
- (1)
- (2)
- (3)
Multiplicar los pares de ecuaciones da como resultado
- (4)
- (5)
- (6)
y la suma de estas ecuaciones es
- (7)
Factor desde el lado derecho, dejando en el numerador, cancelando con un en el denominador.
- (8)
Tenga en cuenta la similitud entre (8) y {(1), (2), (3)}
Dividir (8) entre (1)
cual es la ecuacion para . Dividiendo (8) por (2) o (3) (expresiones para o ) da las ecuaciones restantes.
Transformación Δ a Y de un generador práctico
Durante el análisis de sistemas eléctricos trifásicos balanceados , generalmente se analiza un circuito equivalente por fase (o monofásico) debido a su simplicidad. Para eso, se utilizan conexiones en estrella equivalentes para generadores , transformadores , cargas y motores . Los devanados del estator de un generador trifásico conectado en triángulo práctico, que se muestra en la siguiente figura, se pueden convertir en un generador conectado en estrella equivalente, utilizando las seis fórmulas siguientes [1] :
La red resultante es la siguiente. El nodo neutro de la red equivalente es ficticio, al igual que los voltajes fasoriales de línea a neutro. Durante la transformación, las corrientes fasoriales de línea y los voltajes fasoriales de línea (o línea a línea o fase a fase) no se alteran.
Si el generador delta real está equilibrado, lo que significa que los voltajes fasores internos tienen la misma magnitud y están desfasados 120 ° entre sí y las tres impedancias complejas son las mismas, entonces las fórmulas anteriores se reducen a las cuatro siguientes:
donde para las últimas tres ecuaciones, se usa el primer signo (+) si la secuencia de fase es positiva / abc o se usa el segundo signo (-) si la secuencia de fase es negativa / acb .
Ver también
- Transformación de malla de estrellas
- Análisis de redes (circuitos eléctricos)
- Red eléctrica , energía trifásica , sistemas polifásicos para ejemplos de conexiones Y y Δ
- Motor de CA para una discusión de la técnica de arranque Y-Δ
Referencias
- ↑ Kennelly, AE (1899). "Equivalencia de triángulos y estrellas de tres puntas en redes conductoras". Ingeniero y Mundo Eléctrico . 34 : 413–414.
- ^ Curtis, EB; Ingerman, D .; Morrow, JA (1998). "Gráficos planos circulares y redes de resistencias" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 283 (1-3): 115-150. doi : 10.1016 / S0024-3795 (98) 10087-3 .
- ^ Truemper, K. (1989). "En la reducción delta-estrella para gráficos planares". Revista de teoría de grafos . 13 (2): 141-148. doi : 10.1002 / jgt.3190130202 .
Notas
- 1. ^ Para una demostración, lea la página de Discusión .
Bibliografía
- William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3a ed., McGraw Hill, Nueva York, 1975, ISBN 0-07-061285-4
enlaces externos
- Conversión estrella-triángulo : conocimiento sobre redes resistivas y resistencias
- Calculadora de transformación estrella-triángulo