Transformaciones de impedancia equivalente

[nota 1] [nota 2] [nota 3] [nota 4] [nota 5] [nota 6] [nota 7] [nota 8] [nota 9] [nota 10]

Análisis de red lineal
Elementos
Componentes
Circuitos en serie y en paralelo
Transformaciones de impedancia
Teoremas del generador	Teoremas de la red
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Parámetros de dos puertos
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Una impedancia equivalente es un circuito equivalente de una red eléctrica de elementos de impedancia ^{[nota 2]} que presenta la misma impedancia entre todos los pares de terminales ^{[nota 10]} que la red dada. Este artículo describe las transformaciones matemáticas entre algunos pasivos , lineales redes de impedancia que se encuentran comúnmente en los circuitos electrónicos.

Hay una serie de circuitos equivalentes muy conocidos y de uso frecuente en el análisis de redes lineales . Estos incluyen resistencias en serie , resistencias en paralelo y la extensión a circuitos en serie y en paralelo para capacitores , inductores e impedancias generales. También son bien conocidos los circuitos de generador de voltaje y generador de corriente equivalente de Norton y Thévenin , respectivamente, al igual que la transformada Y-Δ . Ninguno de estos se analiza en detalle aquí; Se deben consultar los artículos individuales vinculados.

El número de circuitos equivalentes en los que se puede transformar una red lineal es ilimitado. Incluso en los casos más triviales, esto puede verse como cierto, por ejemplo, preguntando cuántas combinaciones diferentes de resistencias en paralelo son equivalentes a una determinada resistencia combinada. El número de combinaciones en serie y en paralelo que se pueden formar crece exponencialmente con el número de resistencias, n . Para n grandes, se ha encontrado mediante técnicas numéricas que el tamaño del conjunto es aproximadamente 2,53 ^ny los límites analíticamente estrictos están dados por una secuencia de Farey de números de Fibonacci . ^[1] Este artículo nunca podría esperar ser completo, pero hay algunas generalizaciones posibles. Wilhelm Cauer encontró una transformación que podría generar todas las posibles equivalentes de un racional dado, ^{[nota 9]} pasivo, lineal de un puerto , ^{[nota 8]} o en otras palabras, cualquier dado impedancia de dos terminales. Las transformaciones de redes de 4 terminales, especialmente de 2 puertos, también se encuentran comúnmente y son posibles transformaciones de redes aún más complejas.

La gran escala del tema de los circuitos equivalentes se subraya en una historia contada por Sidney Darlington . Según Darlington, Ronald M. Foster encontró un gran número de circuitos equivalentes , siguiendo su artículo de 1920 y el de George Campbell sobre cuatro puertos no disipativos. En el transcurso de este trabajo, analizaron las formas en que cuatro puertos podrían interconectarse con transformadores ideales ^{[nota 5]} y máxima transferencia de potencia. Encontraron una serie de combinaciones que podrían tener aplicaciones prácticas y le preguntaron a AT&Tdepartamento de patentes para que los patenten. El departamento de patentes respondió que no tenía sentido patentar algunos de los circuitos si un competidor podía usar un circuito equivalente para sortear la patente; deberían patentarlos todos o no molestarse. Por lo tanto, Foster se puso a trabajar calculando hasta el último de ellos. Llegó a un enorme total de 83,539 equivalentes (577,722 si se incluyen diferentes ratios de producción). Éstos eran demasiados para patentar, por lo que en su lugar, la información se lanzó al dominio público para evitar que cualquiera de los competidores de AT&T los patentara en el futuro. ^{[2] [3]}

Redes de 2 terminales y 2 elementos

Una sola impedancia tiene dos terminales para conectarse al mundo exterior, por lo que puede describirse como una red de 2 terminales o de un puerto . A pesar de la simple descripción, no hay límite para el número de mallas, ^{[nota 6]} y, por tanto, la complejidad y el número de elementos que puede tener la red de impedancia. Las redes de dos elementos ^{[nota 4]} son comunes en el diseño de circuitos; Los filtros, por ejemplo, son a menudo redes de tipo LC y los diseñadores de circuitos impresos prefieren las redes de tipo RC porque los inductoresson menos fáciles de fabricar. Las transformaciones son más simples y fáciles de encontrar que para las redes de tres elementos. Las redes de tipo de un elemento se pueden considerar como un caso especial de tipo de dos elementos. Es posible utilizar las transformaciones de esta sección en algunas redes de tres tipos de elementos sustituyendo el elemento Z _n por una red de elementos . Sin embargo, esto se limita a un máximo de dos impedancias sustituidas; el resto no será de libre elección. Todas las ecuaciones de transformación dadas en esta sección se deben a Otto Zobel . ^[4]

Redes de 3 elementos

Las redes de un elemento son triviales y de dos elementos, ^{[nota 3]} las redes de dos terminales son dos elementos en serie o dos elementos en paralelo, también triviales. El número más pequeño de elementos que no son triviales es tres, y hay dos transformaciones no triviales de dos tipos de elementos posibles, siendo una la transformación inversa y el dual topológico del otro. ^[5]

Descripción	La red	Transformar ecuaciones	Red transformada
Transform 1.1 Transform 1.2 es el reverso de esta transformación.		${\displaystyle p_{1}=1+m_{1}\ ,}$  ${\displaystyle p_{2}=m_{1}(1+m_{1})\ ,}$  ${\displaystyle p_{3}=(1+m_{1})^{2}\ .}$
Transform 1.2 La transformada inversa y dual topológico de Transform 1.1.		${\displaystyle p_{1}={\frac {{m_{1}}^{2}}{1+m_{1}}}\ ,}$  ${\displaystyle p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,}$  ${\displaystyle p_{3}=\left({\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\right)^{2}\ .}$
Ejemplo 1. Un ejemplo de Transform 1.2. El tamaño reducido del inductor tiene ventajas prácticas.		${\displaystyle m_{1}=0.5\ ,}$  ${\displaystyle p_{1}=\textstyle {\frac {1}{6}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}=\textstyle {\frac {1}{3}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=\textstyle {\frac {1}{9}}\ .}$

Redes de 4 elementos

Hay cuatro transformaciones de 4 elementos no triviales para redes de 2 elementos. Dos de estos son las transformaciones inversas de los otros dos y dos son el dual de dos diferentes. Son posibles más transformaciones en el caso especial de que Z ₂ se convierta en el mismo tipo de elemento que Z ₁ , es decir, cuando la red se reduce a un tipo de un elemento. El número de posibles redes sigue creciendo a medida que aumenta el número de elementos. Para todas las entradas de la siguiente tabla se define: ^[6]

${\displaystyle q_{1}:=1+m_{1}+m_{2}\,\!}$ , ${\displaystyle q_{2}:={\sqrt {{q_{1}}^{2}-4m_{1}m_{2}}}\,\!}$ , ${\displaystyle q_{3}:={\frac {(1+m_{1})(1+m_{2})}{(m_{1}-m_{2})^{2}}}}$ ,	${\displaystyle q_{4}:={\frac {q_{2}-q_{1}+2m_{2}}{2q_{2}}}}$ , ${\displaystyle q_{5}:={\frac {q_{2}+q_{1}-2m_{2}}{2q_{2}}}}$ .

Descripción	La red	Transformar ecuaciones	Red transformada
Transformar 2.1 Transformar 2.2 es el reverso de esta transformada. La transformación 2.3 es el dual topológico de esta transformación.		${\displaystyle p_{1}={\frac {q_{1}+q_{2}}{2q_{5}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}={\frac {q_{1}-q_{2}}{2q_{4}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}={\frac {m_{2}}{q_{5}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}={\frac {m_{2}}{q_{4}}}\ .}$
Transformar 2.2 Transformar 2.1 es el reverso de esta transformada. La transformación 2.4 es el dual topológico de esta transformación.		${\displaystyle p_{1}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{2})}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}={\frac {m_{1}}{1+m_{1}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}={\frac {1}{q_{3}(1+m_{1})}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}={\frac {m_{2}}{1+m_{2}}}\ .}$
Transformar 2.3 Transformar 2.4 es el reverso de esta transformada. La transformación 2.1 es el dual topológico de esta transformación.		${\displaystyle p_{1}={\frac {q_{4}(q_{1}+q_{2})}{2m_{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}={\frac {q_{5}(q_{1}-q_{2})}{2m_{2}}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=q_{4}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}=q_{5}\ .}$
Transformar 2.4 Transformar 2.3 es el reverso de esta transformada. La transformación 2.2 es el dual topológico de esta transformación.		${\displaystyle p_{1}=1+m_{1}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}=m_{1}q_{3}(1+m_{1})\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=1+m_{2}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}=m_{1}q_{3}(1+m_{2})\ .}$
Ejemplo 2. Un ejemplo de Transform 2.2.		${\displaystyle m_{1}=3\ ,}$ ${\displaystyle m_{2}=1\ ,}$ ${\displaystyle q_{3}=2\ ,}$ ${\displaystyle p_{1}=\textstyle {\frac {1}{4}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{2}=\textstyle {\frac {3}{4}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{3}=\textstyle {\frac {1}{8}}\ ,}$ ${\displaystyle p_{4}=\textstyle {\frac {1}{2}}\ .}$

Redes de 2 terminales, n elementos y 3 elementos

Fig. 1. Ejemplo simple de una red de impedancias que usa resistencias solo para mayor claridad. Sin embargo, el análisis de redes con otros elementos de impedancia se basa en los mismos principios. Se muestran dos mallas, con números en círculos. La suma de impedancias alrededor de cada malla, p, formará la diagonal de las entradas de la matriz, Z _pp . La impedancia de las ramas compartidas por dos mallas, pyq, formarán las entradas - Z _pq . Z _pq , p ≠ q, siempre tendrá un signo menos siempre que la convención de las corrientes de bucle se definan en la misma dirección (convencionalmente en sentido antihorario) y la malla no contenga transformadores ideales o inductores mutuos.

Las redes simples con pocos elementos pueden tratarse formulando las ecuaciones de la red "a mano" con la aplicación de teoremas de redes simples como las leyes de Kirchhoff . La equivalencia se prueba entre dos redes comparando directamente los dos conjuntos de ecuaciones e igualando los coeficientes . Para redes grandes se requieren técnicas más potentes. Un enfoque común es comenzar expresando la red de impedancias como una matriz . Este enfoque solo es bueno para redes racionales ^{[nota 9]} . Cualquier red que incluya elementos distribuidos , como una línea de transmisión , no se puede representar mediante una matriz finita. Generalmente, una n- malla ^{[nota 6]}La red requiere una matriz n x n para representarla. Por ejemplo, la matriz para una red de 3 mallas podría verse como

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}}$

Las entradas de la matriz se eligen de modo que la matriz forme un sistema de ecuaciones lineales en los voltajes y corrientes de malla (como se define para el análisis de malla ):

${\displaystyle \mathbf {[V]} =\mathbf {[Z][I]} }$

El diagrama de ejemplo en la Figura 1, por ejemplo, se puede representar como una matriz de impedancia por

${\displaystyle \mathbf {[Z]} ={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}}$

y el sistema asociado de ecuaciones lineales es

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&-R_{2}\\-R_{2}&R_{2}+R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

En el caso más general, cada rama ^{[nota 1]} Z _p de la red puede estar formada por tres elementos de modo que

${\displaystyle Z_{\mathrm {p} }=sL_{\mathrm {p} }+R_{\mathrm {p} }+{1 \over sC_{\mathrm {p} }}}$

donde L , R y C representan inductancia , resistencia y capacitancia respectivamente y s es el operador de frecuencia compleja .${\displaystyle \scriptstyle s=\sigma +i\omega }$

Esta es la manera convencional de representar una impedancia general, pero para los fines de este artículo es matemáticamente más conveniente para hacer frente a la elastancia , D , la inversa de la capacitancia, C . En esos términos, la impedancia general de la rama se puede representar por

${\displaystyle sZ_{\mathrm {p} }=s^{2}L_{\mathrm {p} }+sR_{\mathrm {p} }+D_{\mathrm {p} }\,\!}$

Asimismo, cada entrada de la matriz de impedancia puede constar de la suma de tres elementos. En consecuencia, la matriz se puede descomponer en tres n x n matrices, una para cada uno de los tres tipos de elementos:

${\displaystyle s\mathbf {[Z]} =s^{2}\mathbf {[L]} +s\mathbf {[R]} +\mathbf {[D]} }$

Se desea que la matriz [ Z ] represente una impedancia, Z ( s ). Para ello, se corta el bucle de una de las mallas y Z ( s ) es la impedancia medida entre los puntos así cortados. Es convencional suponer que el puerto de conexión externo está en la malla 1 y, por lo tanto, está conectado a través de la entrada de matriz Z ₁₁ , aunque sería perfectamente posible formular esto con conexiones a cualquier nodo deseado. ^{[nota 7]} En la siguiente discusión se supone Z ( s ) tomados a través de Z ₁₁ . Z ( s ) se puede calcular a partir de [Z ] por ^[7]

${\displaystyle Z(s)={\frac {|\mathbf {Z} |}{z_{11}}}}$

donde z ₁₁ es el complemento de Z ₁₁ y | Z | es el determinante de [ Z ].

Para la red de ejemplo anterior,

${\displaystyle |\mathbf {Z} |=(R_{1}+R_{2})(R_{2}+R_{3})-{R_{2}}^{2}=R_{1}R_{2}+R_{1}R_{3}+R_{2}R_{3}\ ,}$

${\displaystyle z_{11}=Z_{22}=R_{2}+R_{3}\ ,}$ y,

${\displaystyle Z(s)=R_{1}+{\frac {R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}}\ .}$

Se puede verificar fácilmente que este resultado sea correcto mediante el método más directo de resistencias en serie y en paralelo. Sin embargo, estos métodos rápidamente se vuelven tediosos y engorrosos con el crecimiento del tamaño y la complejidad de la red bajo análisis.

Las entradas de [ R ], [ L ] y [ D ] no se pueden configurar de forma arbitraria. Para que [ Z ] pueda realizar la impedancia Z ( s ), entonces [ R ], [ L ] y [ D ] deben ser matrices definidas positivas . Incluso entonces, la realización de Z ( s ) contendrá, en general, transformadores ideales ^{[nota 5]} dentro de la red. Encontrar solo aquellas transformadas que no requieran inductancias mutuas o transformadores ideales es una tarea más difícil. Del mismo modo, si comienza desde el "otro extremo" y especifica una expresión paraZ ( s ), esto nuevamente no se puede hacer arbitrariamente. Para ser realizable como impedancia racional, Z ( s ) debe ser positivo-real . La condición positiva-real (PR) es necesaria y suficiente ^[8] pero puede haber razones prácticas para rechazar algunas topologías . ^[7]

Una transformada de impedancia general para encontrar un puerto racional equivalente de una instancia dada de [ Z ] se debe a Wilhelm Cauer . El grupo de transformaciones afines reales

${\displaystyle \mathbf {[Z']} =\mathbf {[T]} ^{T}\mathbf {[Z]} \mathbf {[T]} }$

dónde

${\displaystyle \mathbf {[T]} ={\begin{bmatrix}1&0\cdots 0\\T_{21}&T_{22}\cdots T_{2n}\\\cdot &\cdots \\T_{n1}&T_{n2}\cdots T_{nn}\end{bmatrix}}}$

es invariante en Z ( s ). Es decir, todas las redes transformadas son equivalentes según la definición que se da aquí. Si la Z ( s ) para la matriz dada inicial es realizable, es decir, cumple la condición PR, entonces todas las redes transformadas producidas por esta transformación también cumplirán la condición PR. ^[7]

Redes de 3 y 4 terminales

Fig. 2. Una red de 4 terminales conectada por puertos (arriba) tiene corrientes iguales y opuestas en cada par de terminales. La red inferior no cumple con la condición del puerto y no se puede tratar como un puerto 2. Sin embargo, podría tratarse como un puerto 3 no balanceado dividiendo uno de los terminales en tres terminales comunes compartidos entre los puertos.

Cuando se habla de redes de 4 terminales, el análisis de redes a menudo procede en términos de redes de 2 puertos, que cubren una amplia gama de circuitos prácticamente útiles. "2 puertos", en esencia, se refiere a la forma en que la red se ha conectado al mundo exterior: que los terminales se han conectado en pares a una fuente o carga. Es posible tomar exactamente la misma red y conectarla a un circuito externo de tal manera que ya no se comporte como un puerto 2. Esta idea se demuestra en la Figura 2.

Redes equivalentes desequilibradas y equilibradas. La impedancia de los elementos en serie en la versión balanceada es la mitad de la impedancia correspondiente de la versión no balanceada.

Fig. 3. Para estar equilibrada, una red debe tener la misma impedancia en cada "tramo" del circuito.

Una red de 3 terminales también se puede utilizar como 2 puertos. Para lograr esto, uno de los terminales se conecta en común a un terminal de ambos puertos. En otras palabras, un terminal se ha dividido en dos terminales y la red se ha convertido efectivamente en una red de 4 terminales. Esta topología se conoce como topología no balanceada y se opone a la topología balanceada. La topología balanceada requiere, refiriéndose a la Figura 3, que la impedancia medida entre los terminales 1 y 3 sea igual a la impedancia medida entre 2 y 4. Este es el par de terminales que no forman puertos: el caso donde los pares de terminales que forman puertos tienen iguales la impedancia se conoce como simétrica. Estrictamente hablando, cualquier red que no cumpla con la condición de equilibrio está desequilibrada, pero el término se refiere con mayor frecuencia a la topología de 3 terminales descrita anteriormente y en la Figura 3. La transformación de una red de 2 puertos no equilibrada en una red equilibrada suele ser bastante sencilla : todos los elementos conectados en serie se dividen por la mitad y la mitad se reubica en lo que era la rama común. La transformación de una topología equilibrada a una no equilibrada a menudo será posible con la transformación inversa, pero hay ciertos casos de ciertas topologías que no se pueden transformar de esta manera. Por ejemplo, vea la discusión de las transformaciones de celosía a continuación.

Un ejemplo de una transformada de red de 3 terminales que no está restringida a 2 puertos es la transformada Y-Δ . Esta es una transformación particularmente importante para encontrar impedancias equivalentes. Su importancia surge del hecho de que la impedancia total entre dos terminales no se puede determinar únicamente mediante el cálculo de combinaciones en serie y en paralelo, excepto para una determinada clase restringida de red. En el caso general, se requieren transformaciones adicionales. La transformada Y-Δ, su inversa la transformada Δ-Y y los análogos n -terminales de estas dos transformadas (transformadas estrella-polígono) representan las transformaciones adicionales mínimas necesarias para resolver el caso general. La serie y el paralelo son, de hecho, las versiones de 2 terminales de la topología de estrella y polígono. Una topología simple común que no se puede resolver mediante combinaciones en serie y en paralelo es la impedancia de entrada a una red de puente (excepto en el caso especial cuando el puente está en equilibrio). ^[9] El resto de las transformaciones de esta sección están restringidas para su uso solo con 2 puertos.

Transformaciones de celosía

Las redes simétricas de 2 puertos se pueden transformar en redes de celosía utilizando el teorema de bisección de Bartlett . El método se limita a redes simétricas, pero esto incluye muchas topologías que se encuentran comúnmente en filtros, atenuadores y ecualizadores . La topología de celosía está intrínsecamente equilibrada, no existe una contraparte desequilibrada de la celosía y, por lo general, requerirá más componentes que la red transformada.

Algunas redes comunes transformadas en celosías (redes X)
Descripción	La red	Transformar ecuaciones	Red transformada
Transformar 3.1 Transformar una red T en una red de celosía. [10]		${\displaystyle Z_{\mathrm {A} }=Z_{1}\ ,\!}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {B} }=Z_{1}+2Z_{2}\ .\!}$
Transformar 3.2 Transformar una red Π en una red de celosía. [10]		${\displaystyle Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+2Z_{2}}}\ ,\!}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {B} }=Z_{2}\ .}$
Transformar 3.3 Transformación de la red Bridged-T en una red de celosía. [11]		${\displaystyle Z_{\mathrm {A} }={\frac {Z_{1}Z_{0}}{Z_{1}+2Z_{0}}}\ ,\!}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {B} }=Z_{0}+2Z_{2}\ .\!}$

Las transformaciones inversas de una red a una topología desequilibrada no siempre son posibles en términos de componentes pasivos. Por ejemplo, esta transformación:

Descripción	La red	Red transformada
Transformar 3.4 Transformar un ecualizador de fase de celosía en una red T. [12]

no se puede realizar con componentes pasivos debido a los valores negativos que surgen en el circuito transformado. Sin embargo, se puede realizar si se permiten inductancias mutuas y transformadores ideales, por ejemplo, en este circuito . Otra posibilidad es permitir el uso de componentes activos que permitirían realizar impedancias negativas directamente como componentes de circuito. ^[13]

A veces puede ser útil realizar dicha transformación, no con el propósito de construir realmente el circuito transformado, sino con el propósito de ayudar a comprender cómo está funcionando el circuito original. El siguiente circuito en topología en puenteado es una modificación de una sección en T de filtro derivado de m de la serie media . El circuito se debe a Hendrik Bode, quien afirma que la adición de la resistencia de puente de un valor adecuado cancelará la resistencia parásita del inductor de derivación. La acción de este circuito es clara si se transforma en topología T; en esta forma, hay una resistencia negativa en la rama de derivación que se puede hacer que sea exactamente igual a la resistencia parásita positiva del inductor. ^[14]

Descripción	La red	Red transformada
Transformar 3.5 Transformar una sección de filtro de paso bajo en puente T en una sección en T. [14]

Cualquier red simétrica se puede transformar en cualquier otra red simétrica mediante el mismo método, es decir, primero transformándola en la forma de celosía intermedia (omitida para mayor claridad en la transformación del ejemplo anterior) y desde la forma de celosía en la forma objetivo requerida. Como en el ejemplo, esto generalmente resultará en elementos negativos excepto en casos especiales. ^[15]

Eliminando resistencias

Un teorema de Sidney Darlington establece que cualquier función PR Z ( s ) puede realizarse como un puerto de dos puertos sin pérdidas terminado en una resistencia positiva R. Es decir, independientemente de cuántas resistencias haya en la matriz [ Z ] que representa la red de impedancia , se puede encontrar una transformación que realizará la red por completo como una red tipo LC con solo una resistencia en el puerto de salida (que normalmente representaría la carga). No se necesitan resistencias dentro de la red para realizar la respuesta especificada. En consecuencia, siempre es posible reducir las redes de 2 puertos de tipo de 3 elementos a redes de 2 puertos de tipo de 2 elementos (LC) siempre que el puerto de salida termine en una resistencia del valor requerido. ^{[8] [16][17]}

Eliminando transformadores ideales

Una transformación elemental que se puede hacer con transformadores ideales y algún otro elemento de impedancia es cambiar la impedancia al otro lado del transformador. En todas las transformaciones siguientes, r es la relación de vueltas del transformador.

Descripción	La red	Red transformada
Transforme la impedancia de la serie 4.1 a través de un transformador reductor.
Transforme la impedancia de derivación 4.2 a través de un transformador reductor.
Transforme la red de impedancia en serie y en derivación 4.3 mediante un transformador elevador.

Estas transformaciones no solo se aplican a elementos individuales; redes enteras pueden pasar a través del transformador. De esta manera, el transformador se puede desplazar por la red a una ubicación más conveniente.

Darlington proporciona una transformación equivalente que puede eliminar por completo un transformador ideal. Esta técnica requiere que el transformador esté al lado (o pueda moverse al lado) de una red "L" de impedancias del mismo tipo. La transformación en todas las variantes da como resultado que la red "L" se enfrente en sentido contrario, es decir, reflejada topológicamente. ^[2]

Descripción	La red	Red transformada
Transformar 5.1 Eliminación de un transformador reductor.
Transformar 5.2 Eliminación de un transformador elevador.
Ejemplo 3. Ejemplo de transformada 5.1.

El ejemplo 3 muestra que el resultado es una red Π en lugar de una red L. La razón de esto es que el elemento de derivación tiene más capacitancia que la requerida por la transformada, por lo que aún queda algo después de aplicar la transformada. Si, en cambio, el exceso estuviera en el elemento más cercano al transformador, esto podría resolverse desplazando primero el exceso al otro lado del transformador antes de realizar la transformación. ^[2]

Terminología

1. Rama . Una rama de la red es un grupo de elementos conectados en serie entre dos nodos. Una característica esencial de una rama es que todos los elementos de la rama tienen la misma corriente fluyendo a través de ellos.
2. Elemento . Un componente de una red, una resistencia individual (R), un inductor (L) o un condensador (C).
3. n -elemento . Una red que contiene un total de n elementos de todo tipo.
4. n -tipo de elemento . Una red que contiene n tipos diferentes de elementos. Por ejemplo, una red que consta únicamente de elementos LC es una red de dos elementos.
5. Transformador ideal . Estos aparecen con frecuencia en el análisis de redes. Son una construcción puramente teórica que transforma perfectamente tensiones y corrientes en la relación dada sin pérdida. Los transformadores reales son muy eficientes y, a menudo, se pueden utilizar en lugar de un transformador ideal. Una diferencia esencial es que los transformadores ideales continúan funcionando cuando se energizan con CC , algo que ningún transformador real podría hacer jamás. Ver transformador .
6. n -malla . Una malla es un bucle de una red donde existen conexiones para permitir que la corriente pase de un elemento a otro y forme una ruta ininterrumpida que finalmente regrese al punto de partida. Una malla esencial es un bucle que no contiene ningún otro bucle. Una red de n mallas es aquella que contiene n mallas esenciales.
7. Nodo . Un nodo de red es un punto en un circuito donde se une un terminal de tres o más elementos.
8. Puerto . Un par de terminales de una red en la que fluyen corrientes iguales y opuestas.
9. Racional en este contexto significa una red compuesta por un número finito de elementos. Los elementos distribuidos , como en una línea de transmisión, por lo tanto, están excluidos porque la naturaleza infinitesimal de los elementos hará que su número sea infinito .
10. Terminal . Un punto de una red al que se pueden conectar voltajes externos a la red y al que pueden fluir corrientes externas. Una red de 2 terminales también es una red de un puerto. Las redes de 3 y 4 terminales a menudo, pero no siempre, también se conectan como redes de 2 puertos.

Referencias

1. Khan, p. 154
2. Darlington, p.6.
3. Foster y Campbell, p.233
4. Zobel, 1923.
5. Zobel, p.45.
6. Zobel, págs. 45-46.
7. E. Cauer y col. , pág.4.
8. Belevitch, p.850
9. Farago, págs. 18-21.
10. Zobel, págs. 19-20.
11. Farago, págs. 117-121.
12. Farago, p.117.
13. Darlington, págs. 5-6.
14. Bode, Hendrik W., Wave Filter , patente estadounidense 200216, presentada el 7 de junio de 1933, expedida el 21 de mayo de 1935.
15. Bartlett, p.902.
16. E. Cauer y col., Págs. 6-7.
17. Darlington, p.7.

Bibliografía

• Bartlett, AC , "Una extensión de una propiedad de líneas artificiales", Phil. revista , vol 4 , p.902, noviembre de 1927.
• Belevitch, V. , "Resumen de la historia de la teoría de circuitos", Proceedings of the IRE , vol 50 , Iss 5, pp.848-855, mayo de 1962.
• E. Cauer, W. Mathis y R. Pauli, "Life and Work of Wilhelm Cauer (1900 - 1945)" , Actas del XIV Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas , Perpignan, junio de 2000.
• Foster, Ronald M .; Campbell, George A. , "Redes de salida máxima para subestaciones telefónicas y circuitos repetidores" , Transactions of the American Institute of Electrical Engineers , vol.39 , iss.1, pp.230-290, enero de 1920.
• Darlington, S. , "Historia de la síntesis de redes y teoría de filtros para circuitos compuestos de resistencias, inductores y condensadores", IEEE Trans. Circuitos y sistemas , vol 31 , pp.3-13, 1984.
• Farago, PS, Introducción al análisis de redes lineales , The English Universities Press Ltd, 1961.
• Khan, Sameen Ahmed, "Secuencias de Farey y redes de resistencias" , Proceedings of the Indian Academy of Sciences (Mathematical Sciences) , vol.122 , iss.2 , pp. 153-162, mayo de 2012.
• Zobel, OJ , Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos , Revista técnica de Bell System, vol. 2 (1923), págs. 1-46.