En la teoría matemática de grupos , un grupo de 3 transposiciones es un grupo generado por una clase de conjugación de involuciones , llamadas 3 transposiciones , de modo que el producto de dos involuciones cualesquiera de la clase de conjugación tiene un orden como máximo 3.
Fueron estudiados por primera vez por Bernd Fischer ( 1964 , 1970 , 1971 ) quien descubrió los tres grupos de Fischer como ejemplos de grupos de 3 transposición.
Historia
Fischer (1964) estudió por primera vez los grupos de 3 transposiciones en el caso especial cuando el producto de dos cualesquiera 3 transposiciones distintas tiene el orden 3. Demostró que un grupo finito con esta propiedad es soluble y tiene un grupo 3 (nilpotente) de índice 2. Manin (1986) utilizó estos grupos para construir ejemplos de cuasigrupos de CH no abelianos y para describir la estructura de los bucles conmutativos de Moufang del exponente 3.
Teorema de fischer
Supongamos que G es un grupo que se genera por una clase de conjugación D de 3-transposiciones y tal que los 2 y 3 núcleos de O 2 ( G ) y O 3 ( G ) están contenidos en el centro Z ( G ) de G . Luego, Fischer (1971) demostró que hasta el isomorfismo G / Z ( G ) es uno de los siguientes grupos y D es la imagen de la clase de conjugación dada:
- G / Z ( G ) es el grupo trivial.
- G / Z ( G ) es un grupo simétrico S n para n ≥5, y D es la clase de transposiciones. (Si n = 6 hay una segunda clase de 3 transposiciones).
- G / Z ( G ) es un grupo simpléctico Sp 2 n (2) con n ≥3 sobre el campo de orden 2, y D es la clase de transvecciones. (Cuando n = 2 hay una segunda clase de transposiciones).
- G / Z ( G ) es un grupo unitario especial proyectivo PSU n (2) con n ≥5, y D es la clase de transvecciones
- G / Z ( G ) es un grupo ortogonal O μ 2 n (2) con μ = ± 1 yn ≥4, y D es la clase de transvecciones
- G / Z ( G ) es un subgrupo de índice 2 PO n μ, + (3) del grupo ortogonal proyectivo PO n μ (3) (con μ = ± 1 yn ≥5) generado por la clase D de reflexiones de norma +1 vectores.
- G / Z ( G ) es uno de los tres grupos de Fischer Fi 22 , Fi 23 , Fi 24 .
- G / Z ( G ) es uno de dos grupos de la forma Ω 8 + (2). S 3 y PΩ 8 + (3). S 3 , donde Ω representa el subgrupo derivado del grupo ortogonal y S 3 es el grupo de automorfismos de diagrama para el diagrama D 4 Dynkin.
Los casos que faltan con n pequeño arriba o no satisfacen la condición de 2 y 3 núcleos o tienen isomorfismos excepcionales con respecto a otros grupos de la lista.
Ejemplos importantes
¡El grupo S n tiene orden n ! y para n > 1 tiene un subgrupo A n de índice 2 que es simple si n > 4.
El grupo simétrico S n es un grupo de 3 transposiciones para todo n > 1. Las 3-transposiciones son los elementos que intercambian dos puntos, dejando fijo cada uno de los puntos restantes. Estos elementos son las transposiciones (en el sentido habitual) de S n . (Para n = 6 hay una segunda clase de 3 transposiciones, a saber, la clase de los elementos de S 6 que son productos de 3 transposiciones disjuntas).
El grupo simpléctico Sp 2 n (2) tiene orden
Es un grupo de 3 transposiciones para todo n ≥1. Es simple si n > 2, mientras que para n = 1 es S 3 , y para n = 2 es S 6 con un subgrupo simple de índice 2, es decir A 6 . Los 3-transposiciones son de la forma x ↦ x + ( x , v ) v para no nulo v .
El grupo unitario especial SU n (2) tiene orden
El grupo unitario especial proyectivo PSU n (2) es el cociente del grupo unitario especial SU n (2) por el subgrupo M de todas las transformaciones lineales escalares en SU n (2). El subgrupo M es el centro de SU n (2). Además, M tiene el orden mcd (3, n ).
El grupo PSU n (2) es simple si n > 3, mientras que para n = 2 es S 3 y para n = 3 tiene la estructura 3 2 : Q 8 (Q 8 = grupo de cuaterniones).
Tanto SU n (2) como PSU n (2) son grupos de 3 transposición para n = 2 y para todo n ≥4. Las 3 transposiciones de SU n (2) para n = 2 o n ≥4 son de la forma x ↦ x + ( x , v ) v para vectores v distintos de cero de norma cero. Las 3 transposiciones de PSU n (2) para n = 2 o n ≥4 son las imágenes de las 3 transposiciones de SU n (2) bajo el mapa del cociente natural de SU n (2) a PSU n (2) = SU n (2) / M .
El grupo ortogonal O 2 n ± (2) tiene orden
(Sobre los campos de la característica 2, el grupo ortogonal en dimensiones impares es isomorfo a los grupos simplécticos). Tiene un subgrupo de índice 2 (a veces denotado por Ω 2 n ± (2)), que es simple si n > 2.
El grupo O 2 n μ (2) es un grupo de transposición 3 para todo n > 2 y μ = ± 1. Las 3 transposiciones son de la forma x ↦ x + ( x , v ) v para vectores v tales que Q (v) = 1, donde Q es la forma cuadrática subyacente para el grupo ortogonal.
Los grupos ortogonales O n ± (3) son los grupos de automorfismos de formas cuadráticas Q sobre el campo de 3 elementos de manera que el discriminante de la forma bilineal ( a , b ) = Q ( a + b ) - Q ( a ) - Q ( b ) es ± 1. El grupo O n μ, σ (3), donde μ y σ son signos, es el subgrupo de O n μ (3) generado por reflexiones con respecto a los vectores v con Q ( v ) = + 1 si σ es +, y es el subgrupo de O n μ (3) generado por reflexiones con respecto a los vectores v con Q ( v ) = - 1 si σ es -.
Para μ = ± 1 y σ = ± 1, sea PO n μ, σ (3) = O n μ, σ (3) / Z , donde Z es el grupo de todas las transformaciones lineales escalares en O n μ, σ (3 ). Si n > 3, entonces Z es el centro de O n μ, σ (3).
Para μ = ± 1, sea Ω n μ (3) el subgrupo derivado de O n μ (3). Sea PΩ n μ (3) = Ω n μ (3) / X , donde X es el grupo de todas las transformaciones lineales escalares en Ω n μ (3). Si n > 2, entonces X es el centro de Ω n μ (3).
Si n = 2 m +1 es impar, los dos grupos ortogonales O n ± (3) son isomorfos y tienen orden
y O n +, + (3) ≅ O n -, - (3) (orden central 1 para n > 3), y O n -, + (3) ≅ O n +, - (3) (orden central 2 para n > 3), porque las dos formas cuadráticas son múltiplos escalares entre sí, hasta equivalencia lineal.
Si n = 2 m es par, los dos grupos ortogonales O n ± (3) tienen órdenes
y O n +, + (3) ≅ O n +, - (3), y O n -, + (3) ≅ O n -, - (3), porque las dos clases de transposiciones son intercambiadas por un elemento de el grupo ortogonal general que multiplica la forma cuadrática por un escalar. Si n = 2 m , m > 1 y m es par, entonces el centro de O n +, + (3) ≅ O n +, - (3) tiene orden 2, y el centro de O n -, + (3) ) ≅ O n -, - (3) tiene orden 1. Si n = 2 m , m > 2 y m es impar, entonces el centro de O n +, + (3) ≅ O n +, - (3) tiene orden 1, y el centro de O n -, + (3) ≅ O n -, - (3) tiene el orden 2.
Si n > 3, y μ = ± 1 y σ = ± 1, el grupo O n μ, σ (3) es un grupo de 3 transposiciones. Las 3 transposiciones del grupo O n μ, σ (3) son de la forma x ↦ x - ( x , v ) v / Q ( v ) = x + ( x , v ) / ( v , v ) para vectores v con Q ( v ) = σ, donde Q es la forma cuadrática subyacente de O n μ (3).
Si n > 4, y μ = ± 1 y σ = ± 1, entonces O n μ, σ (3) tiene un índice 2 en el grupo ortogonal O n μ (3). El grupo O n μ, σ (3) tiene un subgrupo de índice 2, a saber, Ω n μ (3), que es módulo simple de sus centros (que tienen órdenes 1 o 2). En otras palabras, PΩ n μ (3) es simple.
Si n > 4 es impar y (μ, σ) = (+, +) o (-, -), entonces O n μ, + (3) y PO n μ, + (3) son ambos isomorfos a SO n μ (3) = Ω n μ (3): 2, donde SO n μ (3) es el grupo ortogonal especial del subyacente forma cuadrática Q . Además, Ω n μ (3) es isomorfo a PΩ n μ (3), y también es no abeliano y simple.
Si n > 4 es impar y (μ, σ) = (+, -) o (-, +), entonces O n μ, + (3) es isomorfo a Ω n μ (3) × 2, y O n μ, + (3) es isomorfo a Ω n μ (3). Además, Ω n μ (3) es isomorfo a PΩ n μ (3), y también es no abeliano y simple.
Si n > 5 es par, y μ = ± 1 y σ = ± 1, entonces O n μ, + (3) tiene la forma Ω n μ (3): 2, y PO n μ, + (3) tiene la forma PΩ n μ (3): 2. Además, PΩ n μ (3) no es abeliano y es simple.
Fi 22 tiene el orden 2 17 .3 9 .5 2 .7.11.13 = 64561751654400 y es simple.
Fi 23 tiene orden 2 18 .3 13 .5 2 .7.11.13.17.23 = 4089470473293004800 y es simple.
Fi 24 tiene el orden 2 22 .3 16 .5 2 .7 3 .11.13.17.23.29 y tiene un subgrupo simple de índice 2, a saber, Fi 24 '.
Isomorfismos y casos solucionables
Existen numerosos casos degenerados (solucionables) e isomorfismos entre grupos de 3 transposiciones de pequeño grado como sigue ( Aschbacher 1997 , p.46):
Grupos solucionables
Los siguientes grupos no aparecen en la conclusión del teorema de Fisher ya que son solubles (con un orden de una potencia de 2 veces una potencia de 3).
- tiene orden 1.
- tiene orden 2 y es un grupo de 3 transposiciones.
- es abelian elemental de orden 4, y es no un grupo 3-transposición.
- tiene el orden 6 y es un grupo de 3 transposiciones.
- es abelian elemental de orden 8, y es no un grupo 3-transposición.
- tiene orden 24 y es un grupo de 3 transposiciones.
- tiene orden 72, y es no un grupo 3-transposición, donde Q 8 indica el grupo de cuaterniones.
- tiene orden 72, y es no un grupo 3-transposición.
- tiene orden 216, y es no un grupo 3-transposición, donde 3 1 + 2 significa el grupo extra especial de orden 27 y el exponente 3, y Q 8 indica el grupo de cuaterniones.
- tiene orden de 288, y es no un grupo 3-transposición.
- tiene orden 576, donde * indica el producto central no directo, y es no un grupo 3-transposición.
Isomorfismos
Hay varios isomorfismos adicionales que involucran grupos en la conclusión del teorema de Fischer como sigue. Esta lista también identifica los grupos Weyl de los diagramas ADE Dynkin, que son todos grupos de 3 transposición excepto W (D 2 ) = 2 2 , con grupos en la lista de Fischer (W significa grupo Weyl).
- tiene el orden 120, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones.
- tiene el orden 720 (y 2 clases de 3 transposiciones) y el grupo es un grupo de 3 transposiciones.
- tiene orden 40320, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones.
- tiene orden 51840, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones.
- tiene orden 25920, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones.
- tiene la orden 2903040, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones.
- tiene la orden 69672960, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones.
- para todo s ≥1, y el grupo es un grupo de transposición 3 si s ≥2.
- para todo s ≥1, y el grupo es un grupo de transposición 3 para todo s ≥1.
- para todo s ≥0, y el grupo es un grupo de transposición 3 para todo s ≥0.
- para todo s ≥0, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones si s ≥1.
- para todo m ≥0, y el grupo es un grupo de transposición 3 si m ≥1.
- para todos m ≥0, y el grupo es un grupo 3-transposición si m = 0 o m ≥2.
- para todo n ≥1, y el grupo es un grupo de 3 transposiciones para todo n ≥1.
- para todo n ≥ 2, y el grupo es un grupo de 3 transposición si n ≥ 3.
Prueba
La idea de la demostración es la siguiente. Suponga que D es la clase de 3 transposiciones en G , y d ∈ D , y sea H el subgrupo generado por el conjunto D d de elementos de D que conmutan con d . Entonces D d es un conjunto de 3-transposiciones de H , por lo que los grupos 3-transposición se pueden clasificar por inducción en el orden mediante la búsqueda de todas las posibilidades de G dado cualquier grupo 3-transposición H . Por simplicidad, suponga que el grupo derivado de G es perfecto (esta condición es satisfecha por todos menos los dos grupos que involucran automorfismos de trialidad).
- Si O 3 ( H ) no está contenido en Z ( H ), entonces G es el grupo simétrico S 5
- Si O 2 ( H ) no está contenido en Z ( H ) entonces L = H / O 2 ( H ) es un grupo de 3 transposiciones, y L / Z ( L ) es del tipo Sp (2 n , 2) en cuyo caso G / Z ( G ) es de tipo Sp 2 n +2 (2), o de tipo PSU n (2) en cuyo caso G / Z ( G ) es de tipo PSU n +2 (2)
- Si H / Z ( H ) es de tipo S n, entonces G es de tipo S n +2 o n = 6 y G es de tipo O 6 - (2)
- Si H / Z ( H ) es de tipo Sp 2 n (2) con 2 n ≥ 6 entonces G es de tipo O 2 n +2 μ (2)
- H / Z ( H ) no puede ser del tipo O 2 n μ (2) para n ≥ 4.
- Si H / Z ( H ) es de tipo PO n μ, π (3) para n > 4, entonces G es de tipo PO n +1 −μπ, π (3).
- Si H / Z ( H ) es de tipo PSU n (2) para n ≥ 5 entonces n = 6 y G es de tipo Fi 22 (y H es una cubierta doble excepcional de PSU 6 (2))
- Si H / Z ( H ) es de tipo Fi 22, entonces G es de tipo Fi 23 y H es una cubierta doble de Fi 22 .
- Si H / Z ( H ) es de tipo Fi 23, entonces G es de tipo Fi 24 y H es el producto de Fi 23 y un grupo de orden 2.
- H / Z ( H ) no puede ser de tipo Fi 24 .
3-transposiciones y teoría de grafos
Es útil tratar las 3 transposiciones como vértices de un gráfico . Une los pares que no conmutan, es decir, tienen un producto de orden 3. La gráfica está conectada a menos que el grupo tenga una descomposición directa del producto. Las gráficas correspondientes a los grupos simétricos más pequeños son gráficas familiares. Las 3 transposiciones de S 3 forman un triángulo. Las 6 transposiciones de S 4 forman un octaedro. Las 10 transposiciones de S 5 forman el complemento del gráfico de Petersen .
El grupo simétrico S n puede ser generado por n –1 transposiciones: (1 2), (2 3), ..., ( n −1 n ) y la gráfica de este grupo generador es una línea recta. Encarna suficientes relaciones para definir el grupo S n . [1]
Referencias
- ^ Dickson, LE (2003) [1900], Grupos lineales: con una exposición de la teoría de campo de Galois , p. 287, ISBN 978-0-486-49548-4
- Aschbacher, Michael (1997), grupos de 3 transposición , Cambridge Tracts in Mathematics, 124 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-57196-8, MR 1423599 contiene una prueba completa del teorema de Fischer.
- Fischer, Bernd (1964), "Distributive Quasigruppen endlicher Ordnung", Mathematische Zeitschrift , 83 (4): 267–303, doi : 10.1007 / BF01111162 , ISSN 0025-5874 , MR 0160845
- Fischer, Bernd (1970), grupos finitos generados por 3 transposiciones , preimpresión, Coventry: Mathematics Institute, Universidad de Warwick La primera parte de esta preimpresión (4 de 19 secciones) se publicó como Fischer, Bernd (1971), "Grupos finitos generados por 3 transposiciones. I", Inventiones Mathematicae , 13 (3): 232–246, Bibcode : 1971InMat..13..232F , doi : 10.1007 / BF01404633 , MR 0294487 La parte posterior con la construcción de los grupos de Fischer aún no está publicada (a partir de 2014).
- Manin, Yuri Ivanovich (1986) [1972], Formas cúbicas , North-Holland Mathematical Library, 4 (2.a ed.), Amsterdam: North-Holland, ISBN 978-0-444-87823-6, MR 0833513
- Weiss, Richard (1983), "Sobre la caracterización de Fischer de Sp 2n (2) y U n (2)", Communications in Algebra , 11 (22): 2527–54, doi : 10.1080 / 00927878308822979 , MR 0733341
- Weiss, Richard (1985), "Un lema de unicidad para grupos generados por 3 transposiciones" , Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 97 (3): 421–431, Bibcode : 1985MPCPS..97..421W , doi : 10.1017 / S030500410006299X , MR 0778676