En matemáticas , un bucle de Moufang es un tipo especial de estructura algebraica . Es similar a un grupo en muchos aspectos, pero no tiene por qué ser asociativo . Los bucles de Moufang fueron introducidos por Ruth Moufang ( 1935 ). Los bucles suaves de Moufang tienen un álgebra asociada, el álgebra de Malcev , similar en algunos aspectos a cómo un grupo de Lie tiene asociado un álgebra de Lie .
Definición
Un bucle de Moufang es un bucle Q que satisface las cuatro identidades siguientes para todo x , y , z en Q (la operación binaria en Q se denota por yuxtaposición):
- z ( x ( zy )) = (( zx ) z ) y ;
- x ( z ( yz )) = (( xz ) y ) z
- ( zx ) ( yz ) = ( z ( xy )) z
- ( zx ) ( yz ) = z (( xy ) z ).
Estas identidades se conocen como identidades Moufang .
Ejemplos de
- Cualquier grupo es un bucle asociativo y, por lo tanto, un bucle de Moufang.
- Los octoniones distintos de cero forman un bucle de Moufang no asociativo bajo la multiplicación de octoniones.
- El subconjunto de octoniones de norma unitaria (que forman una esfera de 7 en O ) se cierra con la multiplicación y, por lo tanto, forma un bucle de Moufang.
- El subconjunto de octoniones integrales de norma unitaria es un bucle finito de Moufang de orden 240.
- Los octoniones base y sus inversos aditivos forman un bucle finito de Moufang de orden 16.
- El conjunto de octoniones divididos invertibles forma un bucle de Moufang no asociativo, al igual que el conjunto de octoniones divididos de norma unitaria. De manera más general, el conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra de octonión sobre un campo F forma un bucle de Moufang, al igual que el subconjunto de elementos normativos unitarios.
- El conjunto de todos los elementos invertibles en un anillo alternativos R forma un bucle Moufang llama el bucle de unidades en R .
- Para cualquier campo F dejó M ( F ) indican el bucle Moufang de elementos de norma unidad en la (única) álgebra split-octonión sobre F . Sea Z el centro de M ( F ). Si la característica de F es 2, entonces Z = { e }, de lo contrario Z = {± e }. El bucle Paige sobre F es el bucle M * ( F ) = M ( F ) / Z . Los bucles de Paige son bucles de Moufang simples no asociativos. Todos los bucles de Moufang simples no asociativos finitos son bucles de Paige sobre campos finitos . El bucle de Paige más pequeño M * (2) tiene el orden 120.
- Se puede construir una gran clase de bucles de Moufang no asociativos de la siguiente manera. Sea G un grupo arbitrario. Defina un nuevo elemento u que no esté en G y sea M ( G , 2) = G ∪ ( G u ). El producto en M ( G , 2) viene dado por el producto habitual de los elementos en G junto con
- Resulta que y . Con el producto anterior, M ( G , 2) es un bucle de Moufang. Es asociativo si y solo si G es abeliano.
- El bucle de Moufang no asociativo más pequeño es M ( S 3 , 2) que tiene el orden 12.
- Richard A. Parker construyó un bucle Moufang de orden 2 13 , que fue utilizado por Conway en su construcción del grupo de monstruos . El bucle de Parker tiene un centro de orden 2 con elementos indicados por 1, −1, y el cociente por el centro es un grupo abeliano elemental de orden 2 12 , identificado con el código binario de Golay . Luego, el bucle se define hasta el isomorfismo mediante las ecuaciones
- A 2 = (−1) | A | / 4
- BA = (−1) | A ∩ B | / 2 AB
- A ( BC ) = (−1) | A ∩ B ∩ C | ( AB ) C
- donde | A | es el número de elementos de la palabra de código A , y así sucesivamente. Para obtener más detalles, consulte Conway, JH; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; y Wilson, RA: Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples. Oxford, Inglaterra.
Propiedades
Asociatividad
Los bucles de Moufang se diferencian de los grupos en que no necesitan ser asociativos . Un bucle de Moufang que es asociativo es un grupo. Las identidades de Moufang pueden verse como formas más débiles de asociatividad.
Al establecer varios elementos de la identidad, las identidades Moufang implican
- x ( xy ) = ( xx ) y identidad alternativa izquierda
- ( xy ) y = x ( yy ) identidad alternativa derecha
- x ( yx ) = ( xy ) x identidad flexible (ver álgebra flexible ).
El teorema de Moufang establece que cuando tres elementos x , y y z en un bucle de Moufang obedecen a la ley asociativa: ( xy ) z = x ( yz ) entonces generan un subbucle asociativo; es decir, un grupo. Un corolario de esto es que todos los bucles Moufang son -di asociativa (es decir, el subbucle generada por cualquiera de los dos elementos de un bucle Moufang es asociativa y por lo tanto un grupo). En particular, los bucles de Moufang son asociativos de potencia , por lo que los exponentes x n están bien definidos. Cuando se trabaja con bucles de Moufang, es común colocar el paréntesis en expresiones con solo dos elementos distintos. Por ejemplo, las identidades de Moufang pueden escribirse sin ambigüedades como
- z ( x ( zy )) = ( zxz ) y
- (( xz ) y ) z = x ( zyz )
- ( zx ) ( yz ) = z ( xy ) z .
Multiplicación de izquierda y derecha
Las identidades Moufang pueden escribirse en términos de los operadores de multiplicación izquierda y derecha en Q . Las dos primeras identidades afirman que
mientras que la tercera identidad dice
para todos en . Aquí es bimultiplicación por . La tercera identidad de Moufang es, por tanto, equivalente a la afirmación de que el triplees una autotopia de para todos en .
Propiedades inversas
Todos los bucles de Moufang tienen la propiedad inversa , lo que significa que cada elemento x tiene una inversa x −1 de dos lados que satisface las identidades:
para todos los x y y . Resulta que y si y solo si .
Los bucles de Moufang son universales entre los bucles de propiedad inversa; es decir, un bucle Q es un bucle de Moufang si y solo si cada isótopo de bucle de Q tiene la propiedad inversa. De ello se deduce que cada isótopo de bucle de un bucle de Moufang es un bucle de Moufang.
Se pueden usar inversas para reescribir las identidades Moufang izquierda y derecha de una forma más útil:
Propiedad Lagrange
Un bucle finito Q se dice que tiene la propiedad de Lagrange si el orden de cada circuito secundario de Q divide el orden de Q . El teorema de Lagrange en la teoría de grupos establece que todo grupo finito tiene la propiedad de Lagrange. Durante muchos años estuvo abierta la cuestión de si los bucles finitos de Moufang tenían o no propiedad de Lagrange. La cuestión fue finalmente resuelta por Alexander Grishkov y Andrei Zavarnitsine, e independientemente por Stephen Gagola III y Jonathan Hall, en 2003: cada bucle finito de Moufang tiene la propiedad de Lagrange. Stephen Gagola III ha generalizado más resultados para la teoría de grupos finitos a bucles de Moufang en los últimos años.
Cuasigrupos de mufang
Cualquier cuasigrupo que satisfaga una de las identidades de Moufang debe, de hecho, tener un elemento de identidad y, por lo tanto, ser un bucle de Moufang. Damos una prueba aquí para la tercera identidad:
- Sea a cualquier elemento de Q , y sea e el elemento único tal que ae = a .
- Entonces, para cualquier x en Q , ( xa ) x = ( x ( ae )) x = ( xa ) ( ex ).
- La cancelación da x = ex para que e sea un elemento de identidad izquierdo.
- Ahora, para cualquier y en Q , ye = ( ey ) ( ee ) = ( e ( ye )) e = ( ye ) e .
- La cancelación da y = ye , por lo que e también es un elemento de identidad correcto.
- Por tanto, e es un elemento de identidad de dos caras.
Las pruebas de las dos primeras identidades son algo más difíciles (Kunen 1996).
Problemas abiertos
El problema de Phillips es un problema abierto en la teoría presentada por JD Phillips en Loops '03 en Praga. Pregunta si existe un bucle finito de Moufang de orden impar con un núcleo trivial .
Recuerde que el núcleo de un bucle (o más generalmente un cuasigrupo) es el conjunto de tal que , y espera para todos en el lazo.
Ver también
Referencias
- VD Belousov (2001) [1994], "Bucles de Moufang" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Goodaire, Edgar G .; May, Sean; Raman, Maitreyi (1999). Los bucles de Moufang de orden inferior a 64 . Editorial Nova Science . ISBN 0-444-82438-3.
- Gagola III, Stephen (2011). "Cómo y por qué los bucles de Moufang se comportan como grupos". Cuasigrupos y sistemas relacionados . 19 : 1–22.
- Grishkov, Alexander; Zavarnitsine, Andrei (2005). "Teorema de Lagrange para bucles de Moufang". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 139 : 41–57. doi : 10.1017 / S0305004105008388 .
- Kunen, K. (1996). "Cuasigrupos de mufang". Revista de álgebra . 183 (1): 231–4. CiteSeerX 10.1.1.52.5356 . doi : 10.1006 / jabr.1996.0216 .
- Moufang, R. (1935), "Zur Struktur von Alternativkörpern", Math. Ana. , 110 : 416–430, doi : 10.1007 / bf01448037 , hdl : 10338.dmlcz / 119719
- Romanowska, Anna B .; Smith, Jonathan DH (1999). Álgebra posmoderna . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.
enlaces externos
- Paquete LOOPS para GAP Este paquete tiene una biblioteca que contiene todos los bucles de órdenes de Moufang no asociativos hasta 81 inclusive.
- "Bucle de Moufang" . PlanetMath .