A theory teoría de la homotopía

En la geometría algebraica y la topología algebraica , ramas de las matemáticas , A ¹ teoría homotopy es una manera de aplicar las técnicas de la topología algebraica, específicamente homotopy , a las variedades algebraicas y, más generalmente, a los esquemas . La teoría se debe a Fabien Morel y Vladimir Voevodsky . La idea subyacente es que debería ser posible desarrollar un enfoque puramente algebraico de la teoría de la homotopía reemplazando el intervalo unitario [0, 1] , que no es una variedad algebraica, con la línea afín A ¹, cual es. La teoría ha tenido aplicaciones espectaculares, como la construcción de Voevodsky de la categoría derivada de motivos mixtos y la prueba de las conjeturas de Milnor y Bloch-Kato .

Construcción

Una teoría de homotopía ¹ se basa en una categoría llamada categoría ^de homotopía A ¹${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$. En pocas palabras, la categoría de homotopía A ¹ , o más bien el functor canónico${\displaystyle Sm_{S}\to {\mathcal {H}}(S)}$, es el functor universal de la categoría${\displaystyle Sm_{S}}$ de suave ${\displaystyle S}$-esquemas hacia una categoría infinita que satisface la descendencia de Nisnevich , de modo que la línea afín A ^{1 se} vuelve contractible. Aquí${\displaystyle S}$ es un esquema base preseleccionado (p. ej., el espectro de los números complejos ${\displaystyle Spec(\mathbb {C} )}$).

Esta definición en términos de propiedad universal no es posible sin categorías infinitas. Estos no estaban disponibles en los años 90 y la definición original pasa por la teoría de categorías modelo de Quillen . Otra forma de ver la situación es que la definición original de Morel-Voevodsky produce un modelo concreto para (la categoría de homotopía de) la categoría de infinito${\displaystyle {\mathcal {H}}(S)}$.

Esta construcción más concreta se esboza a continuación.

Paso 0

Elija un esquema base ${\displaystyle S}$. Clásicamente${\displaystyle S}$Se le pide que sea noetheriano, pero muchos autores modernos como Marc Hoyois trabajan con esquemas de base cuasi-compactos cuasi-separados. En cualquier caso, muchos resultados importantes solo se conocen sobre un campo base perfecto, como los números complejos, está perfectamente bien considerar solo este caso.

Paso 1

Paso 1a: gavillas de Nisnevich . Clásicamente, la construcción comienza con la categoría${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$de las gavillas de Nisnevich en la categoría${\displaystyle Sm_{S}}$ de esquemas suaves sobre ${\displaystyle S}$. Heurísticamente, esto debe ser considerado como (y en un sentido técnico preciso es ) la ampliación universal de${\displaystyle Sm_{S}}$ obtenido al unir todos los colimits y obligar a que se satisfaga el descenso de Nisnevich.

Paso 1b: roldanas simpliciales . Con el fin de realizar más fácilmente los procedimientos teóricos de homotopía estándar, como colimits de homotopía y límites de homotopía,${\displaystyle Shv_{Nis}(Sm_{S})}$ reemplazado con la siguiente categoría de poleas simpliciales.

Sea Δ la categoría simplex , es decir, la categoría cuyos objetos son los conjuntos

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

y cuyos morfismos son funciones de conservación del orden. Dejamos${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ denotar la categoría de functores ${\displaystyle \Delta ^{op}\to Shv(Sm_{S})_{Nis}}$. Eso es,${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$ es la categoría de objetos simpliciales en ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$. Tal objeto también se llama gavilla simplicial en${\displaystyle Sm_{S}}$.

Paso 1c: functores de fibra . Para cualquier suave${\displaystyle S}$-esquema ${\displaystyle X}$, Cualquier punto ${\displaystyle x\in X}$, y cualquier gavilla ${\displaystyle F}$, vamos a escribir ${\displaystyle x^{*}F}$ por el tallo de la restricción ${\displaystyle F|_{X_{Nis}}}$ de ${\displaystyle F}$ al pequeño sitio de Nisnevich de ${\displaystyle X}$. Explícitamente,${\displaystyle x^{*}F=colim_{x\to V\to X}F(V)}$ donde el colimit está por encima de las factorizaciones ${\displaystyle x\to V\to X}$ de la inclusión canónica ${\displaystyle x\to X}$ a través de un morfismo étale ${\displaystyle V\to X}$. La colección${\displaystyle \{x^{*}\}}$ es una familia conservadora de functores de fibra para ${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}}$.

Paso 1d: la estructura del modelo cerrado . Definiremos una estructura de modelo cerrada en${\displaystyle \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$en términos de functores de fibra. Dejar${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ser un morfismo de gavillas simpliciales. Nosotros decimos eso:

• f es una equivalencia débil si, para cualquier funtor de fibra x de T , el morfismo de conjuntos simpliciales ${\displaystyle x^{*}f:x^{*}{\mathcal {X}}\to x^{*}{\mathcal {Y}}}$ es una equivalencia débil.
• f es una cofibración si es un monomorfismo.
• f es una fibración si tiene la propiedad de elevación correcta con respecto a cualquier cofibración que sea una equivalencia débil.

La categoría de homotopía de esta estructura modelo se denota ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}(T)}$.

Paso 2

Esta estructura modelo tiene ascendencia Nisnevich, pero no contrae la línea afín. Una gavilla simplicial${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ se llama ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-local si por alguna gavilla simplicial ${\displaystyle {\mathcal {Y}}}$ el mapa

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}}\times \mathbb {A} ^{1},{\mathcal {X}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {X}})}$

Inducido por ${\displaystyle i_{0}:\{0\}\to \mathbb {A} ^{1}}$es una biyección. Aquí estamos considerando${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$como una gavilla a través de la incrustación de Yoneda , y el functor de objeto simplicial constante${\displaystyle Shv(Sm_{S})_{Nis}\to \Delta ^{op}Shv(Sm_{S})_{Nis}}$.

Un morfismo ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ es un ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-equivalencia débil si para alguna ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-local ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$, el mapa inducido

${\displaystyle {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {Y}},{\mathcal {Z}})\to {\text{Hom}}_{{\mathcal {H}}_{s}(T)}({\mathcal {X}},{\mathcal {Z}})}$

es una biyección. El${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-La estructura del modelo local es la localización del modelo anterior con respecto a ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-equivalencias débiles.

Definición formal

Finalmente, podemos definir la categoría de homotopía A ¹ .

Definición. Sea S un esquema noetheriano de dimensión finita (por ejemplo${\displaystyle S=Spec(\mathbb {C} )}$el espectro de los números complejos), y dejar que Sm _{/ S} denotan la categoría de lisas esquemas más de S . Equipe Sm _{/ S} con la topología Nisnevich para obtener el sitio ( Sm _{/ S} ) _Nis . La categoría de homotopía (o categoría infinita) asociada a la${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$-estructura del modelo local en ${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$se llama categoría A ¹ - homotopía . Se denota${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s}}$. Del mismo modo, para las gavillas simpliciales puntiagudas${\displaystyle \Delta ^{op}Shv_{*}(Sm_{S})_{Nis}}$ hay una categoría de homotopía puntiaguda asociada ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s,*}}$.

Tenga en cuenta que por construcción, para cualquier X en Sm _{/ S} , hay un isomorfismo

X × _S A¹
_S≅ X ,

en la categoría de homotopía.

Propiedades de la teoría

Productos de cuña y aplastamiento de (pre) gavillas simpliciales

Porque comenzamos con una categoría de modelo simple para construir el ${\displaystyle \mathbf {A} ^{1}}$-categoría de homotopía, hay una serie de estructuras heredadas de la teoría abstracta de categorías de modelos simpliciales. En particular, para${\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {Y}}}$ gavillas simpliciales puntiagudas en ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$podemos formar el producto de la cuña como el colimit

${\displaystyle {\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}*&\to &{\mathcal {X}}\\\downarrow &&\\{\mathcal {Y}}\end{matrix}}\right\}}$

y el producto de gran éxito se define como

${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge {\mathcal {Y}}={\mathcal {X}}\times {\mathcal {Y}}/{\mathcal {X}}\vee {\mathcal {Y}}}$

recuperando algunas de las construcciones clásicas en la teoría de la homotopía. Hay además un cono de una (pre) gavilla simplicial y un cono de un morfismo, pero definirlos requiere la definición de las esferas simpliciales.

Esferas simples

Por el hecho de que comenzamos con una categoría de modelo simplicial, esto significa que hay un functor cosimplicial

${\displaystyle \Delta ^{\bullet }:\Delta \to \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$

definiendo los simplices en ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$. Recuerde que el n-simplex algebraico está dado por el${\displaystyle S}$-esquema

${\displaystyle \Delta ^{n}={\text{Spec}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{S}[t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}]}{(t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1)}}\right)}$

Incrustar estos esquemas como pretensiones constantes y hacer gavillas da objetos en ${\displaystyle \Delta ^{op}{\text{Sh}}_{*}({\text{Sm}}/S)_{nis}}$, que denotamos por ${\displaystyle \Delta ^{n}}$. Estos son los objetos en la imagen de${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])}$, es decir ${\displaystyle \Delta ^{\bullet }([n])=\Delta ^{n}}$. Luego, usando la teoría abstracta de homotopía simplicial, obtenemos las esferas simpliciales

${\displaystyle S^{n}=\Delta ^{n}/\partial \Delta ^{n}}$

Entonces podemos formar el cono de una (pre) gavilla simplicial como

${\displaystyle C({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge \Delta ^{1}}$

y formar el cono de un morfismo ${\displaystyle f:{\mathcal {X}}\to {\mathcal {Y}}}$ como el colimit del diagrama

${\displaystyle C(f)={\underset {\to }{\text{colim}}}\left\{{\begin{matrix}{\mathcal {X}}&\xrightarrow {f} &{\mathcal {Y}}\\\downarrow &&\\C({\mathcal {X}})\end{matrix}}\right\}}$

Además, el cofre de ${\displaystyle {\mathcal {Y}}\to C(f)}$es simplemente la suspensión ${\displaystyle {\mathcal {X}}\wedge S^{1}=\Sigma {\mathcal {X}}}$. En la categoría de homotopía puntiaguda existe adicionalmente el functor de suspensión

${\displaystyle \Sigma :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$ dada por ${\displaystyle \Sigma ({\mathcal {X}})={\mathcal {X}}\wedge S^{1}}$

y su lado derecho

${\displaystyle \Omega :{\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}\to {\mathcal {H}}_{s,*}(Sm/S)_{Nis}}$

llamado el functor de espacio de bucle .

Comentarios

La configuración, especialmente la topología de Nisnevich , se elige para hacer que la teoría K algebraica sea representable por un espectro, y en algunos aspectos para hacer posible una prueba de la conjetura de Bloch-Kato.

Después de la construcción de Morel-Voevodsky, ha habido varios enfoques diferentes ^de la teoría de la homotopía A ¹ mediante el uso de otras estructuras de categorías de modelo o mediante el uso de otras poleas distintas de las de Nisnevich (por ejemplo, las de Zariski o simplemente todas las prehojas). Cada una de estas construcciones produce la misma categoría de homotopía.

Hay dos tipos de esferas en la teoría: las que provienen del grupo multiplicativo que desempeña el papel de la esfera 1 en la topología, y las que provienen de la esfera simplicial (considerada como haz simple simplicial constante). Esto conduce a una teoría de las esferas motívicas S ^{p , q} con dos índices. Para calcular los grupos de homotopía de esferas motívicas sería también producir los grupos de homotopía estable clásicos de las esferas, por lo que en este sentido A ¹ teoría homotopy es al menos tan complicado como teoría homotopy clásica.

Analogías motivacionales

Espacios Eilenberg-Maclane

Para un grupo abeliano ${\displaystyle A}$ la ${\displaystyle (p,q)}$-cohomología motriz de un esquema suave ${\displaystyle X}$ lo dan los grupos de hipercohomología de la gavilla

${\displaystyle H^{p,q}(X,A):=\mathbb {H} ^{p}(X_{nis},A(q))}$

por ${\displaystyle A(q)=\mathbb {Z} (q)\otimes A}$. En representación de esta cohomología hay una gavilla abeliana simplicial denotada${\displaystyle K(p,q,A)}$ correspondiente a ${\displaystyle A(q)[+p]}$ que se considera como un objeto en la categoría de homotopía motívica puntiaguda ${\displaystyle H_{\bullet }(k)}$. Entonces, para un esquema suave${\displaystyle X}$ tenemos la equivalencia

${\displaystyle {\text{Hom}}_{H_{\bullet }(k)}(X_{+},K(p,q,A))=H^{p,q}(X,A)}$

mostrando que estas gavillas representan espacios motivicos de Eilenberg-Maclane ^{[1] pág} . ³ .

La categoría de homotopía estable

Una construcción adicional en A ¹ teoría -homotopy es la categoría SH ( S ), que se obtiene a partir de la anterior categoría inestable forzando el producto rotura violenta con G _m para convertirse invertible. Este proceso se puede llevar a cabo utilizando construcciones de modelos categóricos utilizando los llamados espectros G _m o, alternativamente, utilizando categorías infinitas.

Para S = Spec ( R ), el espectro del campo de números reales, hay un functor

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )\to SH}$

a la categoría de homotopía estable de la topología algebraica. El funtor se caracteriza por el envío de un esquema liso X / R al colector reales asociados a X . Este functor tiene la propiedad de que envía el mapa.

${\displaystyle \rho :S^{0}\to \mathbf {G} _{m},i.e.,\{-1,1\}\to Spec\mathbf {R} [x,x^{-1}]}$

a una equivalencia, ya que ${\displaystyle \mathbf {R} ^{\times }}$es homotopía equivalente a un conjunto de dos puntos. Bachmann (2018) ha demostrado que el functor resultante

${\displaystyle SH(\mathbf {R} )[\rho ^{-1}]\to SH}$

es una equivalencia.

Referencias

1. Voevodsky, Vladimir (15 de julio de 2001). "Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica". arXiv : matemáticas / 0107109 .

Artículos de encuestas y conferencias

• Morel (2002) Introducción a la teoría de la homotopía A ¹
• Antieau, Benjamín; Elmanto, Elden (2016), Una cartilla para la teoría de la homotopía motívica inestable , arXiv : 1605.00929 , Bibcode : 2016arXiv160500929A

Homotopía motivacional

Fundaciones

• Grupos de homotopía estable motívica
• Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999), " A ¹ -homotopy theory of esquemas" (PDF) , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 90 (90): 45–143, doi : 10.1007 / BF02698831 , MR  1813224 , S2CID  14420180 , recuperado 9 Mayo de 2008
• Voevodsky, Vladimir (1998), " Una teoría de la homotopía 1 " (PDF) , Documenta Mathematica , Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Berlín, 1998): 579–604, ISSN  1431-0635 , MR  1648048
• Voevodsky, Vladimir (2008) " Categorías de homotopía motívica inestable en topologías de Nisnevich y cdh "

Álgebra Motivic Steenrod

• Voevodsky, Vladimir (2001) " Operaciones de potencia reducida en cohomología motívica "
• Voevodsky, Vladimir (2008) " Espacios Motivic Eilenberg-Maclane "

Secuencia espectral Motivic Adams

• La secuencia espectral motívica de Adams
• Teoría de la homotopía cromática motivadora

Espectros

• Jardine. (1999) Espectros simétricos motivadores

Bloch-Kato

• La conjetura de Gersten para la teoría K de Milnor
• Tate giros y cohomología de P 1

Aplicaciones

• El álgebra motívica de Steenrod en característica positiva
• Grupos de homotopía estable motívica
• Sobre el Motivic π 0 {\ Displaystyle \ pi _ {0}} del espectro de la esfera (Springer)
• Los primeros grupos de homotopía estable de la esfera motívica
• En el segmento cero del espectro de la esfera
• Desapareciendo en gavillas de homotopía motívica estable

Referencias

• Bachmann, Tom (2018), "Motivic and Real Etale Stable Homotopy Theory", Compositio Mathematica , 154 : 883–917, arXiv : 1608.08855 , doi : 10.1112 / S0010437X17007710 , S2CID  119305101