En matemáticas , la categoría de homotopía es una categoría construida a partir de la categoría de espacios topológicos que en cierto sentido identifica dos espacios que tienen la misma forma. De hecho, la frase se usa para dos categorías diferentes (pero relacionadas), como se analiza a continuación.
De manera más general, en lugar de comenzar con la categoría de espacios topológicos, se puede comenzar con cualquier categoría de modelo y definir su categoría de homotopía asociada, con una construcción introducida por Quillen en 1967. De esta manera, la teoría de la homotopía se puede aplicar a muchas otras categorías en geometría y álgebra.
La categoría de homotopía ingenua
La categoría de espacios topológicos Top tiene objetos los espacios topológicos y morfismos los mapas continuos entre ellos. La definición más antigua de la categoría de homotopía hTop , llamada categoría de homotopía ingenua [1] para mayor claridad en este artículo, tiene los mismos objetos, y un morfismo es una clase de homotopía de mapas continuos. Es decir, dos mapas continuos f : X → Y se consideran iguales en la categoría de homotopía ingenua si uno puede deformarse continuamente al otro. Hay un funtor de Top a hTop que envía espacios a sí mismos y morfismos a sus clases de homotopía. Un mapa f : X → Y se denomina equivalencia de homotopía si se convierte en un isomorfismo en la categoría de homotopía ingenua. [2]
Ejemplo: El círculo S 1 , el plano R 2 menos el origen y la banda de Möbius son todos equivalentes de homotopía, aunque estos espacios topológicos no son homeomorfos .
La notación [ X , Y ] se usa a menudo para el conjunto de morfismos de un espacio X a un espacio Y en la categoría de homotopía ingenua (pero también se usa para las categorías relacionadas discutidas a continuación).
La categoría de homotopía, siguiendo a Quillen
Quillen (1967) enfatizó otra categoría que simplifica aún más la categoría de espacios topológicos. Los teóricos de la homotopía tienen que trabajar con ambas categorías de vez en cuando, pero el consenso es que la versión de Quillen es más importante, por lo que a menudo se la llama simplemente la "categoría de homotopía". [3]
Primero se define una equivalencia de homotopía débil : un mapa continuo se denomina equivalencia de homotopía débil si induce una biyección en conjuntos de componentes de ruta y una biyección en grupos de homotopía con puntos de base arbitrarios. Entonces, la categoría de homotopía (verdadera) se define localizando la categoría de espacios topológicos con respecto a las equivalencias de homotopía débil. Es decir, los objetos siguen siendo los espacios topológicos, pero se agrega un morfismo inverso para cada equivalencia de homotopía débil. Esto tiene el efecto de que un mapa continuo se convierte en un isomorfismo en la categoría de homotopía si y solo si es una equivalencia de homotopía débil. Hay functores obvios desde la categoría de espacios topológicos a la categoría de homotopía ingenua (como se definió anteriormente), y de allí a la categoría de homotopía.
Los resultados de JHC Whitehead , en particular el teorema de Whitehead y la existencia de aproximaciones CW, [4] dan una descripción más explícita de la categoría de homotopía. Es decir, la categoría de homotopía es equivalente a la subcategoría completa de la categoría de homotopía ingenua que consta de complejos CW . En este sentido, la categoría de homotopía elimina gran parte de la complejidad de la categoría de espacios topológicos.
Ejemplo: Sea X el conjunto de números naturales {0, 1, 2, ...} y sea Y el conjunto {0} ∪ {1, 1/2, 1/3, ...}, ambos con el topología subespacial de la línea real . Defina f : X → Y mapeando 0 a 0 y n a 1 / n para enteros positivos n . Entonces f es continua, y de hecho una equivalencia de homotopía débil, pero no es una equivalencia de homotopía. Así, la categoría de homotopía ingenua distingue espacios como X e Y , mientras que se vuelven isomórficos en la categoría de homotopía.
Para los espacios topológicos X e Y , la notación [ X , Y ] puede usarse para el conjunto de morfismos de X a Y en la categoría de homotopía ingenua o en la categoría de homotopía verdadera, dependiendo del contexto.
Espacios Eilenberg – MacLane
Una motivación para estas categorías es que muchos invariantes de espacios topológicos se definen en la categoría de homotopía ingenua o incluso en la categoría de homotopía verdadera. Por ejemplo, para una equivalencia de homotopía débil de espacios topológicos f : X → Y , el homomorfismo asociado f * : H i ( X , Z ) → H i ( Y , Z ) de grupos de homología singulares es un isomorfismo para todos los números naturales i . [5] De ello se deduce que, para cada número natural i , la homología singular H i puede verse como un funtor de la categoría de homotopía a la categoría de grupos abelianos. En particular, dos mapas homotópicos de X a Y inducen el mismo homomorfismo en grupos de homología singulares.
La cohomología singular tiene una propiedad aún mejor: es un functor representable en la categoría de homotopía. Es decir, para cada grupo abeliano A y número natural i , hay un complejo CW K ( A , i ) llamado espacio de Eilenberg-MacLane y una clase de cohomología u en H i ( K ( A , i ), A ) tal que la función resultante
(dando tirando u de nuevo a X ) es biyectiva para todos los espacios topológicos X . [El 6] Aquí [ X , Y ] debe ser entendida como el conjunto de mapas en el verdadero categoría de homotopía, si se quiere que esta declaración de retención para todos los espacios topológicos X . Se mantiene en la categoría de homotopía ingenua si X es un complejo CW.
Versión puntiaguda
Una variante útil es la categoría de homotopía de espacios puntiagudos . Un espacio puntiagudo significa un par ( X , x ) con X un espacio topológico yx un punto en X , llamado punto base. La categoría Top * de espacios puntiagudos tiene objetos los espacios en punta, y un morfismo f : X → Y es un mapa continuo que toma el punto de base de X para el punto base de Y . La categoría de homotopía ingenua de espacios puntiagudos tiene los mismos objetos, y los morfismos son clases de homotopía de mapas puntiagudos (lo que significa que el punto base permanece fijo en toda la homotopía). Finalmente, la categoría de homotopía "verdadera" de espacios puntiagudos se obtiene de la categoría Top * invirtiendo los mapas puntiagudos que son equivalencias de homotopía débiles.
Para los espacios puntiagudos X e Y , [ X , Y ] puede denotar el conjunto de morfismos de X a Y en cualquier versión de la categoría de homotopía de espacios puntiagudos, dependiendo del contexto.
Varias construcciones básicas en la teoría de la homotopía se definen naturalmente en la categoría de espacios puntiagudos (o en la categoría de homotopía asociada), no en la categoría de espacios. Por ejemplo, la suspensión Σ X y el espacio de bucle Ω X se definen para un espacio puntiagudo X y producen otro espacio puntiagudo. Además, el producto de la rotura violenta X ∧ Y es un funtor importante de espacios puntiagudos X y Y . Por ejemplo, la suspensión se puede definir como
Los functores de espacio de suspensión y bucle forman un par adjunto de functores , en el sentido de que existe un isomorfismo natural.
para todos los espacios X e Y.
Categorías concretas
Mientras que los objetos de una categoría de homotopía son conjuntos (con estructura adicional), los morfismos no son funciones reales entre ellos, sino clases de funciones (en la categoría de homotopía ingenua) o "zigzags" de funciones (en la categoría de homotopía). De hecho, Freyd demostró que ni la categoría de homotopía ingenua de espacios puntiagudos ni la categoría de homotopía de espacios puntiagudos es una categoría concreta . Es decir, no existe un functor fiel de estas categorías a la categoría de conjuntos . [7]
Categorías de modelos
Hay un concepto más general: la categoría de homotopía de una categoría de modelo . Una categoría modelo es una categoría C con tres tipos distinguidos de morfismos llamados fibraciones , cofibraciones y equivalencias débiles , que satisfacen varios axiomas. La categoría de homotopía asociada se define localizando C con respecto a las equivalencias débiles.
Esta construcción, aplicada a la categoría de modelo de espacios topológicos con su estructura de modelo estándar (a veces llamada estructura de modelo de Quillen), da la categoría de homotopía definida anteriormente. Se han considerado muchas otras estructuras modelo en la categoría de espacios topológicos, dependiendo de cuánto se quiera simplificar la categoría. Por ejemplo, en la estructura del modelo de Hurewicz en espacios topológicos, la categoría de homotopía asociada es la categoría de homotopía ingenua definida anteriormente. [8]
La misma categoría de homotopía puede surgir de muchas categorías de modelos diferentes. Un ejemplo importante es la estructura del modelo estándar en conjuntos simpliciales : la categoría de homotopía asociada es equivalente a la categoría de homotopía de espacios topológicos, aunque los conjuntos simpliciales son objetos definidos combinatoriamente que carecen de topología. En cambio, algunos topólogos prefieren trabajar con espacios débiles de Hausdorff generados de forma compacta ; de nuevo, con la estructura del modelo estándar, la categoría de homotopía asociada es equivalente a la categoría de homotopía de todos los espacios topológicos. [9]
Para un ejemplo más algebraico de una categoría modelo, sea A una categoría abeliana de Grothendieck , por ejemplo, la categoría de módulos sobre un anillo o la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico. Luego hay una estructura modelo en la categoría de complejos de cadenas de objetos en A , siendo las equivalencias débiles los cuasi-isomorfismos . [10] La categoría de homotopía resultante se denomina categoría derivada D ( A ).
Finalmente, la categoría de homotopía estable se define como la categoría de homotopía asociada a una estructura modelo en la categoría de espectros . Se han considerado varias categorías diferentes de espectros, pero todas las definiciones aceptadas producen la misma categoría de homotopía.
Notas
- ^ May y Ponto (2012), p. 395.
- ^ Hatcher (2002), p. 3.
- ^ May y Ponto (2012), págs. Xxi-xxii.
- ^ Hatcher (2002), Teorema 4.5 y Proposición 4.13.
- ^ Hatcher (2002), Proposición 4.21.
- ^ Hatcher (2002), Teorema 4.57.
- ^ Freyd (1970).
- ^ May y Ponto (2012), sección 17.1.
- ^ Hovey (1999), Teoremas 2.4.23 y 2.4.25.
- ^ Beke (2000), Proposición 3.13.
Referencias
- Beke, Tibor (2000), "Categorías de modelos de homotopía transitable", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 129 (3): 447–473, arXiv : math / 0102087 , Bibcode : 2000MPCPS.129..447B , doi : 10.1017 / S0305004100004722 , MR 1.780.498 , S2CID 16563879
- Dwyer, William G .; Spaliński, J. (1995), "Teorías de homotopía y categorías de modelos" (PDF) , Manual de topología algebraica , Amsterdam: Holanda Septentrional, págs. 73-126, MR 1361887
- Freyd, Peter (1970), "La homotopía no es concreta" , El álgebra de Steenrod y sus aplicaciones , Lecture Notes in Mathematics, 168 , Springer-Verlag , MR 0276961
- Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, Señor 1867354
- Hovey, Mark (1999), Categorías de modelos (PDF) , American Mathematical Society , ISBN 0-8218-1359-5, MR 1650134
- May, JP ; Ponto, K. (2012), Topología algebraica más concisa. Categorías de localización, finalización y modelo (PDF) , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-51178-8, MR 2884233