En matemáticas , el teorema del isomorfismo del residuo normativo es un resultado buscado desde hace mucho tiempo que relaciona la teoría K de Milnor y la cohomología de Galois . El resultado tiene una formulación relativamente elemental y al mismo tiempo representa la coyuntura clave en las demostraciones de muchos teoremas aparentemente no relacionados del álgebra abstracta, la teoría de las formas cuadráticas, la teoría K algebraica y la teoría de los motivos. El teorema afirma que cierto enunciado es verdadero para cualquier primo y cualquier número natural . John Milnor [1] especuló que este teorema podría ser cierto para y todo , y esta pregunta se conoció como la conjetura de Milnor . El caso general se conjeturó por Spencer Bloch y Kazuya Kato [2] y se conoce como la conjetura Bloch-Kato o la motívica conjetura Bloch-Kato para distinguirla de la conjetura Bloch-Kato en valores de L -Funciones . [3] Vladimir Voevodsky demostró el teorema del isomorfismo del residuo normativo utilizando una serie de resultados altamente innovadores de Markus Rost .
Declaración
Para cualquier entero ℓ invertible en un campo hay un mapa dónde denota el módulo de Galois de ℓ-ésima raíz de unidad en algún cierre separable de k . Induce un isomorfismo. El primer indicio de que esto está relacionado con la teoría K es quees el grupo K 1 ( k ). Tomando los productos tensoriales y aplicando la multiplicatividad de la cohomología étale se obtiene una extensión del mapa a mapas:
Estos mapas tienen la propiedad de que, para cada elemento de una de, desaparece. Esta es la relación definitoria de la teoría K de Milnor . Específicamente, la teoría K de Milnor se define como las partes graduadas del anillo:
dónde es el álgebra tensorial del grupo multiplicativo y el cociente es por el ideal bilateral generado por todos los elementos de la forma. Por lo tanto, el mapa factores a través de un mapa:
Este mapa se denomina símbolo de Galois o mapa de residuos de normas . [4] [5] [6] Debido a que la cohomología étale con coeficientes mod-ℓ es un grupo de torsión ℓ, este mapa también factoriza a través de.
El teorema del isomorfismo de residuo normativo (o conjetura de Bloch-Kato) establece que para un campo k y un entero ℓ que es invertible en k , el mapa de residuo norma
de Milnor K-theory mod-ℓ a étale cohomology es un isomorfismo. El caso ℓ = 2 es la conjetura de Milnor , y el caso n = 2 es el teorema de Merkurjev-Suslin. [6] [7]
Historia
La cohomología de étale de un campo es idéntica a la cohomología de Galois , por lo que la conjetura iguala la ℓ-ésima cotorsión (el cociente por el subgrupo de ℓ elementos divisibles) del grupo K de Milnor de un campo k con la cohomología de Galois de k con coeficientes en el módulo de Galois de ℓth raíces de unidad. El punto de la conjetura es que hay propiedades que se ven fácilmente para los grupos K de Milnor pero no para la cohomología de Galois, y viceversa; El teorema del isomorfismo de residuo normativo permite aplicar técnicas aplicables al objeto en un lado del isomorfismo al objeto en el otro lado del isomorfismo.
El caso en el que n es 0 es trivial, y el caso en el que n = 1 se sigue fácilmente del teorema 90 de Hilbert . El caso n = 2 y ℓ = 2 fue probado por ( Merkurjev 1981 ) . Un avance importante fue el caso n = 2 y ℓ arbitrario. Este caso fue probado por ( Merkurjev & Suslin 1982 ) y se conoce como el teorema de Merkurjev-Suslin . Más tarde, Merkurjev y Suslin, e independientemente, Rost, probaron el caso n = 3 y ℓ = 2 ( Merkurjev & Suslin 1991 ) ( Rost 1986 ) .
El nombre "residuo normativo" se refería originalmente al símbolo de Hilbert. , que toma valores en el grupo de Brauer de k (cuando el campo contiene todas las raíces ℓ-ésimas de la unidad). Su uso aquí está en analogía con la teoría de campo de clase local estándar y se espera que sea parte de una teoría de campo de clase "superior" (aún no desarrollada).
El teorema del isomorfismo del residuo normativo implica la conjetura de Quillen-Lichtenbaum . Es equivalente a un teorema cuyo enunciado alguna vez se denominó conjetura de Beilinson-Lichtenbaum .
Historia de la prueba
Vladimir Voevodsky demostró la conjetura de Milnor . [8] [9] [10] [11] Posteriormente Voevodsky demostró la conjetura general de Bloch-Kato. [12] [13]
El punto de partida de la demostración es una serie de conjeturas debidas a Lichtenbaum (1983) y Beilinson (1987) . Conjeturaron la existencia de complejos motívicos , complejos de haces cuya cohomología estaba relacionada con la cohomología motívica . Entre las propiedades conjeturales de estos complejos había tres propiedades: una que conectaba su cohomología de Zariski con la teoría K de Milnor, otra que conectaba su cohomología de etale con la cohomología con coeficientes en las gavillas de raíces de unidad y una que conectaba su cohomología de Zariski con su cohomología de etale. Estas tres propiedades implicaron, como un caso muy especial, que el mapa de residuos de la norma debería ser un isomorfismo. La característica esencial de la prueba es que utiliza la inducción sobre el "peso" (que es igual a la dimensión del grupo de cohomología en la conjetura) donde el paso inductivo requiere conocer no solo el enunciado de la conjetura de Bloch-Kato, sino la mucho más general. declaración que contiene una gran parte de las conjeturas de Beilinson-Lichtenbaum. A menudo ocurre en las demostraciones por inducción que el enunciado que se está probando debe reforzarse para probar el paso inductivo. En este caso, el fortalecimiento que se necesitaba requirió el desarrollo de una gran cantidad de nuevas matemáticas.
La prueba más temprana de la conjetura de Milnor está contenida en una preimpresión de 1995 de Voevodsky [8] y está inspirada en la idea de que debería haber análogos algebraicos de la teoría de Morava K (estas teorías algebraicas de Morava K fueron construidas más tarde por Simone Borghesi [14]). ). En una preimpresión de 1996, Voevodsky pudo eliminar la teoría K de Morava de la imagen introduciendo en su lugar cobordismos algebraicos y usando algunas de sus propiedades que no fueron probadas en ese momento (estas propiedades se probaron más tarde). Ahora se sabe que las construcciones de los preprints de 1995 y 1996 son correctas, pero la primera prueba completa de la conjetura de Milnor utilizó un esquema algo diferente.
También es el esquema que sigue la demostración de la conjetura completa de Bloch-Kato. Fue ideado por Voevodsky unos meses después de que apareciera el preimpreso de 1996. La implementación de este esquema requirió hacer avances sustanciales en el campo de la teoría de la homotopía motívica , así como encontrar una manera de construir variedades algebraicas con una lista específica de propiedades. De la teoría de la homotopía motívica, la demostración requería lo siguiente:
- Una construcción del análogo motívico del ingrediente básico de la dualidad Spanier-Whitehead en la forma de la clase fundamental motívica como un morfismo de la esfera motívica al espacio de Thom del haz normal motívico sobre una variedad algebraica proyectiva suave.
- Una construcción del análogo motívico del álgebra de Steenrod .
- Una prueba de la proposición que establece que sobre un campo de característica cero, el álgebra de Steenrod motívica caracteriza todas las operaciones de cohomología biestable en la cohomología motívica.
Las dos primeras construcciones fueron desarrolladas por Voevodsky en 2003. Combinadas con los resultados que se conocían desde finales de la década de 1980, fueron suficientes para reprobar la conjetura de Milnor .
También en 2003, Voevodsky publicó en la web una preimpresión que casi contenía una prueba del teorema general. Siguió el esquema original pero le faltaron las pruebas de tres declaraciones. Dos de estas declaraciones estaban relacionadas con las propiedades de las operaciones motívicas de Steenrod y requerían el tercer hecho anterior, mientras que el tercero requería hechos desconocidos en ese momento sobre "variedades de normas". Las propiedades que debían tener estas variedades fueron formuladas por Voevodsky en 1997, y las propias variedades fueron construidas por Markus Rost en 1998-2003. La prueba de que tienen las propiedades requeridas fue completada por Andrei Suslin y Seva Joukhovitski en 2006.
El tercer hecho anterior requirió el desarrollo de nuevas técnicas en la teoría de la homotopía motívica. El objetivo era demostrar que un funtor, que no se suponía que conmutara con límites o colimits, conservaba equivalencias débiles entre objetos de una determinada forma. Una de las principales dificultades fue que el enfoque estándar para el estudio de equivalencias débiles se basa en sistemas de factorización de Bousfield-Quillen y estructuras de categorías de modelos , y estos eran inadecuados. Se tuvieron que desarrollar otros métodos, y este trabajo fue completado por Voevodsky sólo en 2008. [ cita requerida ]
En el curso del desarrollo de estas técnicas, quedó claro que la primera afirmación utilizada sin pruebas en la preimpresión de 2003 de Voevodsky es falsa. La prueba tuvo que modificarse ligeramente para adaptarse a la forma corregida de esa declaración. Mientras Voevodsky continuaba elaborando los detalles finales de las demostraciones de los principales teoremas sobre los espacios motivicos de Eilenberg-MacLane , Charles Weibel inventó un enfoque para corregir el lugar en la demostración que tenía que modificar. Weibel también publicó en 2009 un artículo que contenía un resumen de las construcciones de Voevodsky combinado con la corrección que descubrió. [ cita requerida ]
Conjetura de Beilinson-Lichtenbaum
Sea X una variedad suave sobre un campo que contiene. Beilinson y Lichtenbaum conjeturaron que el grupo de cohomología motívicaes isomorfo al cohomology étale grupocuando p ≤ q . Esta conjetura ha sido probada ahora y es equivalente al teorema de isomorfismo de residuo normativo.
Referencias
- ↑ Milnor (1970)
- ^ Bloch, Spencer y Kato, Kazuya, "p-adic étale cohomology", Inst. Hautes Études Sci. Publ. Matemáticas. Núm. 63 (1986), pág. 118
- ^ Bloch, Spencer y Kato, Kazuya, "Funciones L y números de motivos de Tamagawa", The Grothendieck Festschrift, vol. I, 333–400, Progr. Math., 86, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990.
- ^ Srinivas (1996) p.146
- ^ Gille y Szamuely (2006) p.108
- ↑ a b Efrat (2006) p.221
- ^ Srinivas (1996) págs. 145-193
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- ^ "Voevodsky, Vladimir," Sobre cohomología motívica con coeficientes Z / l "(2008)" . UIUC.edu . Consultado el 3 de agosto de 2017 .
- ↑ Voevodsky (2010)
- ↑ Borghesi (2000)
Bibliografía
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