En matemáticas , particularmente en la teoría de la homotopía , una categoría modelo es una categoría con clases distinguidas de morfismos ('flechas') llamadas ' equivalencias débiles ', ' fibraciones ' y ' cofibraciones ' que satisfacen ciertos axiomas que las relacionan. Estos se abstraen de la categoría de espacios topológicos o de complejos de cadenas ( teoría de categorías derivadas ). El concepto fue introducido por Daniel G. Quillen ( 1967 ).
En las últimas décadas, el lenguaje de las categorías modelo se ha utilizado en algunas partes de la teoría K algebraica y la geometría algebraica , donde los enfoques teóricos de la homotopía condujeron a resultados profundos.
Motivación
Las categorías de modelo pueden proporcionar un escenario natural para la teoría de la homotopía : la categoría de espacios topológicos es una categoría de modelo, con la homotopía correspondiente a la teoría habitual. De manera similar, los objetos que se consideran espacios a menudo admiten una estructura de categorías modelo, como la categoría de conjuntos simpliciales .
Otra categoría modelo es la categoría de complejos de la cadena de R -modules para un anillo conmutativo R . La teoría de la homotopía en este contexto es álgebra homológica . Entonces, la homología puede verse como un tipo de homotopía, lo que permite generalizaciones de homología a otros objetos, como grupos y R -algebras , una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría. Debido al ejemplo anterior con respecto a la homología, el estudio de categorías de modelos cerrados a veces se considera un álgebra homotópica .
Definicion formal
La definición dada inicialmente por Quillen fue la de una categoría de modelo cerrada, cuyos supuestos parecían fuertes en ese momento, lo que motivó a otros a debilitar algunos de los supuestos para definir una categoría de modelo. En la práctica, la distinción no ha demostrado ser significativa y los autores más recientes (por ejemplo, Mark Hovey y Philip Hirschhorn) trabajan con categorías de modelos cerradas y simplemente eliminan el adjetivo "cerrado".
La definición se ha separado a la de una estructura modelo en una categoría y luego a condiciones categóricas adicionales en esa categoría, cuya necesidad puede parecer desmotivada al principio pero se vuelve importante más tarde. La siguiente definición sigue la dada por Hovey.
Una estructura de modelo en una categoría C consta de tres clases distinguidas de morfismos (subcategorías equivalentes): equivalencias débiles , fibraciones y cofibraciones , y dos factorizaciones funcionales. y sujeto a los siguientes axiomas. Una fibración que también es una equivalencia débil se denomina fibración acíclica (o trivial ) [1] y una cofibración que también es una equivalencia débil se denomina cofibración acíclica (o trivial ) (o algunas veces se denomina morfismo anodino ).
- Axiomas
- Se retrae : si g es un morfismo que pertenece a una de las clases distinguidas, yf es una retracción de g (como objetos en la categoría de flecha, donde 2 es el conjunto ordenado de 2 elementos), entonces f pertenece a la misma clase distinguida. Explícitamente, el requisito de que f es un retracto de g medios que existen i , j , r y s , de manera que las siguientes diagrama conmuta:
- 2 de 3 : si f y g son mapas en C tales que gf está definido y dos de estos son equivalencias débiles, entonces también lo es el tercero.
- Lifting : las cofibraciones acíclicas tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones, y las cofibraciones tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas. Explícitamente, si el cuadrado exterior del siguiente diagrama conmuta, donde i es una cofibración yp es una fibración, e i o p es acíclico, entonces existe h completando el diagrama.
- Factorización :
- cada morfismo f en C se puede escribir comopara una fibración py una cofibración acíclica i ;
- cada morfismo f en C se puede escribir comopara una fibración acíclico p y una cofibration i .
Una categoría de modelo es una categoría que tiene una estructura de modelo y todos los límites y colímites (pequeños) , es decir, una categoría completa y cocompleta con una estructura de modelo.
Definición mediante sistemas de factorización débiles
La definición anterior puede expresarse sucintamente mediante la siguiente definición equivalente: una categoría modelo es una categoría C y tres clases de (las llamadas) equivalencias débiles W , fibraciones F y cofibraciones C de modo que
- C tiene todos los límites y colimits,
- es un sistema de factorización débil ,
- es un sistema de factorización débil
- satisface la propiedad 2 de 3. [2]
Primeras consecuencias de la definición
Los axiomas implican que dos de las tres clases de mapas determinan el tercero (por ejemplo, las cofibraciones y las equivalencias débiles determinan las fibraciones).
Además, la definición es auto-dual: si C es una categoría modelo, entonces su categoría opuesta También admite una estructura modelo de modo que equivalencias débiles corresponden a sus opuestos, fibraciones opuestas de cofibraciones y cofibraciones opuestas de fibraciones.
Ejemplos de
Espacios topológicos
La categoría de espacios topológicos , Top , admite una estructura de categoría de modelo estándar con las fibraciones habituales (Serre) y con equivalencias débiles como equivalencias de homotopía débiles. Las cofibraciones no son la noción habitual que se encuentra aquí , sino más bien la clase más estrecha de mapas que tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas de Serre. De manera equivalente, son las retracciones de los complejos celulares relativos, como se explica, por ejemplo, en Categorías del modelo de Hovey . Esta estructura no es única; en general, puede haber muchas estructuras de categorías modelo en una categoría determinada. Para la categoría de espacios topológicos, otra estructura similar la dan las fibraciones de Hurewicz y las cofibraciones estándar, y las equivalencias débiles son las equivalencias de homotopía (fuertes) .
Complejos de cadena
La categoría de complejos de cadenas (no graduados negativamente) de módulos R lleva al menos dos estructuras modelo, que ocupan un lugar destacado en el álgebra homológica:
- las equivalencias débiles son mapas que inducen isomorfismos en homología;
- las cofibraciones son mapas que son monomorfismos en cada grado con cokernel proyectivo ; y
- Las fibraciones son mapas que son epimorfismos en cada grado distinto de cero.
o
- las equivalencias débiles son mapas que inducen isomorfismos en homología;
- las fibraciones son mapas que son epimorfismos en cada grado con kernel inyectivo ; y
- las cofibraciones son mapas que son monomorfismos en cada grado distinto de cero.
Esto explica por qué los grupos externos de módulos R se pueden calcular resolviendo el origen de forma proyectiva o el objetivo de forma inyectiva. Estos son reemplazos de cofibrantes o fibrantes en las respectivas estructuras del modelo.
La categoría de complejos de cadena arbitrarios de módulos R tiene una estructura modelo que se define por
- las equivalencias débiles son equivalencias de homotopía de cadena de complejos de cadena;
- las cofibraciones son monomorfismos que se dividen como morfismos de los módulos R subyacentes ; y
- las fibraciones son epimorfismos que se dividen como morfismos de los módulos R subyacentes .
Más ejemplos
Otros ejemplos de categorías que admiten estructuras modelo incluyen la categoría de todas las categorías pequeñas, la categoría de conjuntos simpliciales o prefabricados simpliciales en cualquier sitio pequeño de Grothendieck , la categoría de espectros topológicos y las categorías de espectros simpliciales o prehechas de espectros simpliciales en un Grothendieck pequeño sitio.
Los objetos simples de una categoría son una fuente frecuente de categorías de modelos; por ejemplo, los anillos conmutativos simpliciales o los módulos R simpliciales admiten estructuras de modelos naturales. Esto se sigue porque hay un adjunto entre conjuntos simpliciales y anillos conmutativos simpliciales (dados por los functores olvidadizos y libres), y en los casos agradables uno puede levantar estructuras modelo bajo un adjunto.
Una categoría de modelo simplicial es una categoría simplicial con una estructura de modelo que es compatible con la estructura simplicial. [3]
Dada cualquier categoría C y una categoría de modelo M , bajo ciertas hipótesis adicionales, la categoría de functores Fun ( C , M ) (también llamados C -diagramas en M ) también es una categoría de modelo. De hecho, siempre hay dos candidatos para estructuras de modelos distintos: en uno, el llamado modelo de estructura proyectiva, fibraciones y equivalencias débiles son los mapas de palabras funcionales que son fibraciones y equivalencias débiles cuando se evalúa en cada objeto del C . Dualmente, la estructura del modelo inyectivo es similar con cofibraciones y equivalencias débiles en su lugar. En ambos casos, la tercera clase de morfismos viene dada por una condición de elevación (ver más abajo). En algunos casos, cuando la categoría C es una categoría Reedy , hay una estructura de tercer modelo que se encuentra entre lo proyectivo y lo inyectivo.
El proceso de forzar ciertos mapas a convertirse en equivalencias débiles en una nueva estructura de categorías de modelo en la misma categoría subyacente se conoce como localización de Bousfield . Por ejemplo, la categoría de poleas simpliciales puede obtenerse como una localización de Bousfield de la categoría modelo de pre-ondas simpliciales .
Denis-Charles Cisinski ha desarrollado [4] una teoría general de estructuras modelo en categorías de pregamas (generalizando conjuntos simpliciales, que son prefabricados en la categoría simplex ).
Si C es una categoría de modelo, entonces también lo es la categoría Pro ( C ) de pro-objetos en C . Sin embargo, una estructura del modelo en Pro ( C ) también se puede construir mediante la imposición de un conjunto más débil de axiomas a C . [5]
Algunas construcciones
Cada categoría de modelo cerrado tiene un objeto terminal por completitud y un objeto inicial por cocompletar, ya que estos objetos son el límite y colimit, respectivamente, del diagrama vacío. Dado un objeto X en la categoría del modelo, si el mapa único del objeto inicial a X es una cofibración, entonces se dice que X es cofibrante . De manera análoga, si el mapa único de X al objeto terminal es una fibración, se dice que X es fibrante .
Si Z y X son objetos de una categoría de modelo de tal manera que Z es cofibrant y hay una equivalencia débil de Z a X entonces Z se dice que es una sustitución cofibrant para X . Del mismo modo, si Z es fibrant y hay una equivalencia débil de X a Z entonces Z se dice que es una sustitución fibrant para X . En general, no todos los objetos son fibrantes o cofibrantes, aunque a veces este es el caso. Por ejemplo, todos los objetos son cofibrantes en la categoría de modelo estándar de conjuntos simples y todos los objetos son fibrantes para la estructura de categoría de modelo estándar dada anteriormente para espacios topológicos.
La homotopía izquierda se define con respecto a los objetos cilíndricos y la homotopía derecha se define con respecto a los objetos del espacio de trayectoria . Estas nociones coinciden cuando el dominio es cofibrante y el codominio es fibrante. En ese caso, la homotopía define una relación de equivalencia en los conjuntos homotopía en la categoría del modelo que da lugar a clases de homotopía.
Caracterizaciones de fibraciones y cofibraciones por propiedades lifting
Las cofibraciones se pueden caracterizar como los mapas que tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas, y las cofibraciones acíclicas se caracterizan como los mapas que tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones. De manera similar, las fibraciones se pueden caracterizar como los mapas que tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a las cofibraciones acíclicas, y las fibraciones acíclicas se caracterizan como los mapas que tienen la propiedad de elevación correcta con respecto a las cofibraciones.
Homotopía y categoría de homotopía
La categoría de homotopía de una categoría modelo C es la localización de C con respecto a la clase de equivalencias débiles. Esta definición de categoría de homotopía no depende de la elección de fibraciones y cofibraciones. Sin embargo, las clases de fibraciones y cofibraciones son útiles para describir la categoría de homotopía de una manera diferente y, en particular, para evitar problemas de teoría de conjuntos que surgen en localizaciones generales de categorías. Más precisamente, el "teorema fundamental de las categorías modelo" establece que la categoría de homotopía de C es equivalente a la categoría cuyos objetos son los objetos de C que son tanto fibrantes como cofibrantes, y cuyos morfismos son clases de mapas de homotopía izquierda (equivalentemente, derecha clases de homotopía de mapas) como se definió anteriormente. (Ver, por ejemplo, Categorías de modelos de Hovey, Thm 1.2.10)
Aplicando esto a la categoría de espacios topológicos con la estructura modelo dada anteriormente, la categoría de homotopía resultante es equivalente a la categoría de complejos CW y clases de homotopía de mapas continuos, de ahí el nombre.
Adjunciones de Quillen
Un par de functores adjuntos
entre dos categorías de modelo C y D se denomina adjunción de Quillen si F conserva las cofibraciones y las cofibraciones acíclicas o, de manera equivalente por los axiomas del modelo cerrado, de manera que G conserva las fibraciones y las fibraciones acíclicas. En este caso F y G inducen una adjunción
entre las categorías de homotopía. También hay un criterio explícito para que este último sea una equivalencia ( F y G se denominan entonces equivalencia de Quillen ).
Un ejemplo típico es el adjunto estándar entre conjuntos simpliciales y espacios topológicos:
que implica la realización geométrica de un conjunto simplicial y las cadenas singulares en algún espacio topológico. Las categorías sSet y Top no son equivalentes, pero sus categorías de homotopía sí lo son. Por lo tanto, los conjuntos simpliciales se utilizan a menudo como modelos para espacios topológicos debido a esta equivalencia de categorías de homotopía.
Ver también
- (∞, 1) -categoría
- Categoría de ciclo
- Categoría de modelo estable
Notas
- ^ Algunos lectores encuentran ambiguo el término "trivial" y prefieren utilizar "acíclico".
- ↑ Riehl (2014 , §11.3)
- ^ Definición 2.1. de [1] .
- ^ Cisinski, Denis-Charles. Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie. (Francés) [Presheaves como modelos para tipos de homotopía] Astérisque No. 308 (2006), xxiv + 390 pp. ISBN 978-2-85629-225-9 MR2294028
- ^ Barnea, Ilan; Schlank, Tomer M. (2016), "Una estructura de modelo proyectivo sobre gavillas pro-simplicial, y el tipo de homotopía étale relativo", Adv. Matemáticas. , 291 : 784–858, arXiv : 1109.5477 , Bibcode : 2011arXiv1109.5477B , MR 3459031
Referencias
- Denis-Charles Cisinski: Les préfaisceaux commes modèles des types d'homotopie , Astérisque, (308) 2006, xxiv + 392 págs.
- Dwyer, William G .; Spaliński, Jan (1995), "Teorías de homotopía y categorías de modelos" (PDF) , Handbook of algebraic topology , Amsterdam: North-Holland, págs. 73–126, doi : 10.1016 / B978-044481779-2 / 50003-1 , MR 1361887
- Philip S. Hirschhorn: Categorías modelo y sus localizaciones , 2003, ISBN 0-8218-3279-4 .
- Mark Hovey: Categorías de modelos , 1999, ISBN 0-8218-1359-5 .
- Klaus Heiner Kamps y Timothy Porter: Teoría de homotopía abstracta y homotopía simple , 1997, World Scientific, ISBN 981-02-1602-5 .
- Georges Maltsiniotis: La théorie de l'homotopie de Grothendieck . Astérisque, (301) 2005, vi + 140 págs.
- Riehl, Emily (2014), Teoría de homotopía categórica , Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9781107261457 , ISBN 978-1-107-04845-4, MR 3221774
- Quillen, Daniel G. (1967), Álgebra homotópica , Lecture Notes in Mathematics, No. 43, 43 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0097438 , MR 0223432
Otras lecturas
- "¿Todavía necesitamos categorías de modelos?"
- "(infinito, 1) -categorías directamente de las categorías del modelo"
- Paul Goerss y Kristen Schemmerhorn, categorías de modelos y métodos simples
enlaces externos
- Categoría de modelo en nLab
- Categoría de modelo en el catlab de Joyal