Media aritmética-geométrica
En matemáticas , la media aritmético-geométrica de dos números reales positivos x e y se define de la siguiente manera:
Estas dos sucesiones convergen en el mismo número, la media aritmético-geométrica de x e y ; se denota por M ( x , y ) , oa veces por agm( x , y ) o AGM( x , y ) .
La media aritmético-geométrica se utiliza en algoritmos rápidos para funciones exponenciales y trigonométricas , así como algunas constantes matemáticas , en particular, calcular π .
El número de dígitos en los que a n y g n concuerdan (subrayados) se duplica aproximadamente con cada iteración. La media aritmético-geométrica de 24 y 6 es el límite común de estas dos sucesiones, que es aproximadamente13.458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 . [1]
El primer algoritmo basado en este par de secuencias apareció en los trabajos de Lagrange . Sus propiedades fueron analizadas más a fondo por Gauss . [2]
La media geométrica de dos números positivos nunca es mayor que la media aritmética (ver desigualdad de medias aritméticas y geométricas ). Como consecuencia, para n > 0 , ( g n ) es una secuencia creciente, ( a n ) es una secuencia decreciente y g n ≤ M ( x , y ) ≤ a n . Estas son desigualdades estrictas si x ≠ y .
