En matemáticas , un polinomio multivariado definido sobre números racionales es absolutamente irreductible si es irreducible sobre el campo complejo . [1] [2] [3] Por ejemplo, es absolutamente irreductible, pero mientras es irreductible sobre los enteros y los reales, es reducible sobre los números complejos como y por tanto no es absolutamente irreductible.
De manera más general, un polinomio definido sobre un campo K es absolutamente irreducible si es irreducible sobre cada extensión algebraica de K , [4] y un conjunto algebraico afín definido por ecuaciones con coeficientes en un campo K es absolutamente irreducible si no es la unión de dos conjuntos algebraicas definidas por las ecuaciones en una extensión algebraicamente cerrado de K . En otras palabras, un conjunto algebraico absolutamente irreductible es sinónimo de una variedad algebraica , [5] que enfatiza que los coeficientes de las ecuaciones definitorias pueden no pertenecer a un campo algebraicamente cerrado.
También se aplica absolutamente irreductible , con el mismo significado, a las representaciones lineales de grupos algebraicos .
En todos los casos, ser absolutamente irreductible es lo mismo que ser irreductible sobre el cierre algebraico del campo de tierra.
Ejemplos de
- Un polinomio univariado de grado mayor o igual a 2 nunca es absolutamente irreductible, debido al teorema fundamental del álgebra .
- La representación bidimensional irreductible del grupo simétrico S 3 de orden 6, originalmente definido sobre el campo de los números racionales , es absolutamente irreductible.
- La representación del grupo circular mediante rotaciones en el plano es irreductible (sobre el campo de los números reales), pero no es absolutamente irreductible. Después de extender el campo a números complejos, se divide en dos componentes irreducibles. Esto es de esperar, ya que el grupo circular es conmutativo y se sabe que todas las representaciones irreductibles de grupos conmutativos sobre un campo algebraicamente cerrado son unidimensionales.
- La variedad algebraica real definida por la ecuación
- es absolutamente irreductible. [3] Es el círculo ordinario sobre los reales y sigue siendo una sección cónica irreducible sobre el campo de los números complejos. La irreductibilidad absoluta se aplica más generalmente a cualquier campo que no sea de la característica dos. En la característica dos, la ecuación es equivalente a ( x + y −1) 2 = 0. Por lo tanto, define la línea doble x + y = 1, que es un esquema no reducido .
- La variedad algebraica dada por la ecuación
- no es absolutamente irreductible. De hecho, el lado izquierdo se puede factorizar como
- dónde es una raíz cuadrada de -1.
- Por lo tanto, esta variedad algebraica consta de dos líneas que se cruzan en el origen y no es absolutamente irreductible. Esto es válido ya sea sobre el campo de tierra, si -1 es un cuadrado, o sobre la extensión cuadrática obtenida al unir i .
Referencias
- ^ Borevich, ZI; Shafarevich, IR (1986), Teoría de números , Matemáticas puras y aplicadas, 20 , Academic Press, p. 10, ISBN 9780080873329.
- ^ Grabmeier, Johannes; Kaltofen, Erich; Weispfenning, Volker (2003), Computer Algebra Handbook: Foundations, Applications, Systems , Springer, p. 26, ISBN 9783540654667.
- ^ a b Tucker, Allen B. (2004), Computer Science Handbook (2ª ed.), CRC Press, págs. 8–17 - 8-18, ISBN 9780203494455.
- ^ Stepanov, Serguei A. (1994), Aritmética de curvas algebraicas , Monografías en matemáticas contemporáneas, Springer, p. 53, ISBN 9780306110368.
- ^ Niederreiter, Harald ; Xing, Chaoping (2009), Geometría algebraica en la teoría de la codificación y criptografía , Princeton University Press, p. 47, ISBN 9781400831302.