En geometría analítica , transformaciones espaciales en el espacio euclidiano tridimensionalse distinguen en activos o transformaciones de coartadas y pasivos o transformaciones de alias . Una transformación activa [1] es una transformación que cambia realmente la posición física (coartada, en otro lugar) de un punto, o cuerpo rígido , que puede definirse en ausencia de un sistema de coordenadas ; mientras que una transformación pasiva [2] es simplemente un cambio en el sistema de coordenadas en el que se describe el objeto (alias, otro nombre) (cambio de mapa de coordenadas o cambio de base ). Por transformación , matemáticosgeneralmente se refieren a transformaciones activas, mientras que físicos e ingenieros podrían referirse a cualquiera de las dos. Ambos tipos de transformación se pueden representar mediante una combinación de una traducción y una transformación lineal .
Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del mismo objeto en dos sistemas de coordenadas diferentes. [3] Por otro lado, una transformación activa es una transformación de uno o más objetos con respecto al mismo sistema de coordenadas. Por ejemplo, las transformaciones activas son útiles para describir posiciones sucesivas de un cuerpo rígido. Por otro lado, las transformaciones pasivas pueden ser útiles en el análisis del movimiento humano para observar el movimiento de la tibia en relación con el fémur , es decir, su movimiento en relación con un sistema de coordenadas ( local ) que se mueve junto con el fémur, en lugar de un ( global ) sistema de coordenadas que se fija al suelo. [3]
Ejemplo
Como ejemplo, dejemos que el vector , sea un vector en el avión. Una rotación del vector a través de un ángulo θ en sentido antihorario viene dada por la matriz de rotación :
que puede verse como una transformación activa o una transformación pasiva (donde se invertirá la matriz anterior), como se describe a continuación.
Transformaciones espaciales en el espacio euclidiano
En general una transformación espacial puede consistir en una traslación y una transformación lineal. A continuación, se omitirá la traslación y la transformación lineal se representará mediante una matriz de 3 × 3.
Transformación activa
Como transformación activa, transforma el vector inicial en un nuevo vector .
Si uno ve como una nueva base, entonces las coordenadas del nuevo vector en la nueva base son los mismos que los de en la base original. Tenga en cuenta que las transformaciones activas tienen sentido incluso como una transformación lineal en un espacio vectorial diferente. Tiene sentido escribir el nuevo vector en la base sin imprimación (como arriba) solo cuando la transformación es del espacio en sí mismo.
Transformación pasiva
Por otro lado, cuando uno ve como una transformación pasiva, el vector inicial se deja sin cambios, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores base se transforman en la dirección opuesta, es decir, con la transformación inversa . [4] Esto da un nuevo sistema de coordenadas XYZ con vectores base:
Las nuevas coordenadas de con respecto al nuevo sistema de coordenadas XYZ vienen dadas por:
- .
De esta ecuación se ve que las nuevas coordenadas están dadas por
- .
Como una transformación pasiva transforma las coordenadas antiguas en las nuevas.
Tenga en cuenta la equivalencia entre los dos tipos de transformaciones: las coordenadas del nuevo punto en la transformación activa y las nuevas coordenadas del punto en la transformación pasiva son las mismas, es decir
- .
Ver también
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Transformación de coartada". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram.
- ^ Weisstein, Eric W. "Transformación de alias". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram.
- ↑ a b Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). "§4.4.1 La interpretación activa y la transformación activa" . Robots y teoría de tornillos: aplicaciones de la cinemática y estática a la robótica . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 74 ff . ISBN 0-19-856245-4.
- ^ Amidror, Isaac (2007). "Apéndice D: Observación D.12" . La teoría del fenómeno Moiré: Capas aperiódicas . Saltador. pag. 346. ISBN 978-1-4020-5457-0.
- Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 84, Addison-Wesley .