modelo acíclico

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En topología algebraica , una disciplina dentro de las matemáticas , el teorema de modelos acíclicos se puede utilizar para mostrar que dos teorías de homología son isomorfas . El teorema fue desarrollado por los topólogos Samuel Eilenberg y Saunders MacLane . ^[1] Descubrieron que, cuando los topólogos escribían pruebas para establecer la equivalencia de varias teorías de homología, había numerosas similitudes en los procesos. Eilenberg y MacLane luego descubrieron el teorema para generalizar este proceso.

Sea una categoría arbitraria y sea la categoría de cadenas de complejos de -módulos sobre algún anillo . Sean funtores covariantes tales que :${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)}$${\ estilo de visualización R}$${\ estilo de visualización R}$${\displaystyle F,V:{\mathcal {K}}\to {\mathcal {C}}(R)}$

Lo que está arriba es una de las primeras versiones del teorema. Otra versión es la que dice que si es un complejo de proyectivas en una categoría abeliana y es un complejo acíclico en esa categoría, entonces cualquier aplicación se extiende a una aplicación en cadena , única hasta la homotopía.${\ estilo de visualización K}$${\ estilo de visualización L}$${\displaystyle K_{0}\to L_{0}}$${\ Displaystyle K\ a L}$

Esto se especializa casi en el teorema anterior si se usa la categoría del funtor como la categoría abeliana. Los funtores libres son objetos proyectivos en esa categoría. Los morfismos en la categoría de funtores son transformaciones naturales, por lo que los mapas de cadena construidos y las homotopías son todos naturales. La diferencia es que en la versión anterior, ser acíclico es una suposición más fuerte que ser acíclico solo en ciertos objetos.${\displaystyle {\mathcal {C}}(R)^{\mathcal {K}}}$${\ estilo de visualización V}$

Por otro lado, la versión anterior casi implica esta versión al permitir una categoría con un solo objeto. Entonces, el funtor libre es básicamente un módulo libre (y por lo tanto proyectivo). ser acíclico en los modelos (solo hay uno) no significa otra cosa que el complejo es acíclico.${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización V}$${\ estilo de visualización V}$

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