Filtro adaptativo

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Un filtro adaptativo es un sistema con un filtro lineal que tiene una función de transferencia controlada por parámetros variables y un medio para ajustar esos parámetros de acuerdo con un algoritmo de optimización . Debido a la complejidad de los algoritmos de optimización, casi todos los filtros adaptativos son filtros digitales . Se requieren filtros adaptables para algunas aplicaciones porque algunos parámetros de la operación de procesamiento deseada (por ejemplo, las ubicaciones de las superficies reflectantes en un espacio reverberante ) no se conocen de antemano o están cambiando. El filtro adaptativo de bucle cerrado utiliza retroalimentación en forma de señal de error para refinar su función de transferencia.

En términos generales, el proceso adaptativo de circuito cerrado implica el uso de una función de costo , que es un criterio para el rendimiento óptimo del filtro, para alimentar un algoritmo, que determina cómo modificar la función de transferencia del filtro para minimizar el costo en la siguiente iteración. La función de costo más común es el cuadrado medio de la señal de error.

A medida que ha aumentado la potencia de los procesadores de señales digitales , los filtros adaptativos se han vuelto mucho más comunes y ahora se usan de manera rutinaria en dispositivos como teléfonos móviles y otros dispositivos de comunicación, videocámaras y cámaras digitales y equipos de monitoreo médico.

Aplicación de ejemplo

La grabación de un latido del corazón (un ECG ), puede estar dañado por el ruido de las red de corriente alterna . La frecuencia exacta de la potencia y sus armónicos pueden variar de un momento a otro.

Una forma de eliminar el ruido es filtrar la señal con un filtro de muesca en la frecuencia de la red y sus alrededores, pero esto podría degradar excesivamente la calidad del ECG ya que es probable que el latido del corazón también tenga componentes de frecuencia en el rango rechazado.

Para evitar esta posible pérdida de información, se podría utilizar un filtro adaptativo. El filtro adaptativo tomaría la entrada tanto del paciente como de la red y, por lo tanto, podría rastrear la frecuencia real del ruido a medida que fluctúa y restar el ruido de la grabación. Una técnica adaptativa de este tipo permite generalmente un filtro con un rango de rechazo más pequeño, lo que significa, en este caso, que la calidad de la señal de salida es más precisa para fines médicos. ^{[1] [2]}

Diagrama de bloques

La idea detrás de un filtro adaptativo de circuito cerrado es que un filtro variable se ajusta hasta que se minimiza el error (la diferencia entre la salida del filtro y la señal deseada). El filtro de mínimos cuadrados medios (LMS) y el filtro de mínimos cuadrados recursivos (RLS) son tipos de filtro adaptativo.

Filtro adaptativo. k = número de muestra, x = entrada de referencia, X = conjunto de valores recientes de x, d = entrada deseada, W = conjunto de coeficientes de filtro, ε = salida de error, f = respuesta de impulso de filtro, * = convolución, Σ = suma, cuadro superior = filtro lineal, cuadro inferior = algoritmo de adaptación

Filtro adaptativo, representación compacta. k = número de muestra, x = entrada de referencia, d = entrada deseada, ε = salida de error, f = respuesta al impulso del filtro, Σ = suma, caja = filtro lineal y algoritmo de adaptación.

Hay dos señales de entrada para el filtro adaptativo: y que a veces se denominan entrada principal y entrada de referencia, respectivamente. ^[3] intentos El algoritmo de adaptación para filtrar la entrada de referencia en una réplica de la entrada deseada minimizando la señal residual, . Cuando la adaptación es exitosa, la salida del filtro es efectivamente una estimación de la señal deseada.${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle d_{k}}$ que incluye la señal deseada más interferencias no deseadas y

${\displaystyle x_{k}}$que incluye las señales que están correlacionadas con algunas de las interferencias no deseadas en .${\displaystyle d_{k}}$

k representa el número de muestra discreto.

El filtro está controlado por un conjunto de coeficientes o pesos L + 1.

${\displaystyle \mathbf {W} _{k}=\left[w_{0k},\,w_{1k},\,...,\,w_{Lk}\right]^{T}}$ representa el conjunto o vector de pesos, que controlan el filtro en el tiempo de muestreo k.

donde se refiere al 'ésimo peso en el k'ésimo tiempo.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \mathbf {\Delta W} _{k}}$ representa el cambio en los pesos que ocurre como resultado de los ajustes calculados en el tiempo de muestra k.

Estos cambios se aplicarán después del tiempo de muestreo k y antes de que se utilicen en el tiempo de muestreo k + 1.

La salida suele ser, pero podría serlo o incluso podría ser, los coeficientes de filtro. ^[4] (Widrow)${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

Las señales de entrada se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle d_{k}=g_{k}+u_{k}+v_{k}}$

${\displaystyle x_{k}=g_{k}^{'}+u_{k}^{'}+v_{k}^{'}}$

dónde:

g = la señal deseada,

g ' = una señal que se correlaciona con la señal deseada g ,

u = una señal no deseada que se agrega ag , pero no se correlaciona con g o g '

u ' = una señal que está correlacionada con la señal no deseada u , pero no correlacionada con g o g ' ,

v = una señal no deseada (típicamente ruido aleatorio) no correlacionada con g , g ' , u , u ' o v ' ,

v ' = una señal no deseada (típicamente ruido aleatorio) no correlacionada con g , g ' , u , u ' o v .

Las señales de salida se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle y_{k}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}}$.

dónde:

${\displaystyle {\hat {g}}}$= la salida del filtro si la entrada fue solo g ' ,

${\displaystyle {\hat {u}}}$= la salida del filtro si la entrada fue solo u ' ,

${\displaystyle {\hat {v}}}$= la salida del filtro si la entrada fue solo v ' .

Filtro FIR de línea de retardo aprovechado

Si el filtro variable tiene una estructura de respuesta de impulso finita (FIR) de línea de retardo con derivación , entonces la respuesta de impulso es igual a los coeficientes del filtro. La salida del filtro viene dada por

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(k-l)}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

donde se refiere al 'ésimo peso en el k'ésimo tiempo.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

Caso ideal

En el caso ideal . Todas las señales no deseadas están representadas por . consiste enteramente en una señal correlacionada con la señal no deseada en .${\displaystyle v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0}$${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle \ x_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$

La salida del filtro variable en el caso ideal es

${\displaystyle y_{k}={\hat {u}}_{k}}$ .

La señal de error o función de costo es la diferencia entre y${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. La señal deseada g _k pasa sin ser modificada.

La señal de error se minimiza en el sentido cuadrático medio cuando se minimiza. En otras palabras, es la mejor estimación cuadrática media de . En el caso ideal, y , y todo lo que queda después de la resta es cuál es la señal deseada sin cambios con todas las señales no deseadas eliminadas.${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle [u_{k}-{\hat {u}}_{k}]}$${\displaystyle {\hat {u}}_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle u_{k}={\hat {u}}_{k}}$${\displaystyle \epsilon _{k}=g_{k}}$${\displaystyle g}$

Componentes de la señal en la entrada de referencia

En algunas situaciones, la entrada de referencia incluye componentes de la señal deseada. Esto significa g '≠ 0.${\displaystyle x_{k}}$

En este caso, no es posible la cancelación perfecta de la interferencia no deseada, pero es posible mejorar la relación señal / interferencia. La salida será

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}}_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. La señal deseada se modificará (generalmente disminuirá).

La relación entre la señal de salida y la interferencia tiene una fórmula simple denominada inversión de potencia .

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)}}}$.

dónde

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)\ }$ = relación señal de salida a interferencia.

${\displaystyle \rho _{\mathsf {ref}}(z)\ }$ = relación señal de referencia a interferencia.

${\displaystyle z\ }$ = frecuencia en el dominio z.

Esta fórmula significa que la relación entre la señal de salida y la interferencia a una frecuencia particular es el recíproco de la relación entre la señal de referencia y la interferencia. ^[5]

Ejemplo: un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para autos. Antes de llegar a la ventana, los clientes hacen su pedido hablando por un micrófono. El micrófono también capta el ruido del motor y del entorno. Este micrófono proporciona la señal principal. La potencia de la señal de la voz del cliente y la potencia del ruido del motor son iguales. Es difícil para los empleados del restaurante entender al cliente. Para reducir la cantidad de interferencia en el micrófono principal, se ubica un segundo micrófono donde está destinado a captar los sonidos del motor. También capta la voz del cliente. Este micrófono es la fuente de la señal de referencia. En este caso, el ruido del motor es 50 veces más potente que la voz del cliente. Una vez que el cancelador ha convergido,la relación de señal primaria a interferencia se mejorará de 1: 1 a 50: 1.

Combinador lineal adaptativo

Combinador lineal adaptativo que muestra el combinador y el proceso de adaptación. k = número de muestra, n = índice de variable de entrada, x = entradas de referencia, d = entrada deseada, W = conjunto de coeficientes de filtro, ε = salida de error, Σ = suma, cuadro superior = combinador lineal, cuadro inferior = algoritmo de adaptación.

Combinador lineal adaptativo, representación compacta. k = número de muestra, n = índice de variable de entrada, x = entradas de referencia, d = entrada deseada, ε = salida de error, Σ = suma.

El combinador lineal adaptativo (ALC) se parece al filtro FIR de línea de retardo con derivación adaptativa, excepto que no existe una relación supuesta entre los valores X. Si los valores de X fueran de las salidas de una línea de retardo con derivación, entonces la combinación de línea de retardo con derivación y ALC comprendería un filtro adaptativo. Sin embargo, los valores de X podrían ser los valores de una matriz de píxeles. O podrían ser las salidas de múltiples líneas de retardo con tomas. El ALC se utiliza como formador de haz adaptativo para conjuntos de hidrófonos o antenas.

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{k}}$

donde se refiere al 'ésimo peso en el k'ésimo tiempo.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

Algoritmo LMS

Artículo principal: filtro de mínimos cuadrados medios

Si el filtro de variable tiene una estructura FIR de línea de retardo con tap, entonces el algoritmo de actualización LMS es especialmente simple. Normalmente, después de cada muestra, los coeficientes del filtro FIR se ajustan de la siguiente manera: ^[6] (Widrow)

por ${\displaystyle l=0\dots L}$

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{k-l}}$

μ se llama factor de convergencia .

El algoritmo LMS no requiere que los valores X tengan ninguna relación en particular; por lo tanto, se puede utilizar para adaptar un combinador lineal y un filtro FIR. En este caso, la fórmula de actualización se escribe como:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk}}$

El efecto del algoritmo LMS es en cada momento, k, realizar un pequeño cambio en cada peso. La dirección del cambio es tal que disminuiría el error si se hubiera aplicado en el momento k. La magnitud del cambio en cada peso depende de μ, el valor X asociado y el error en el tiempo k. Los pesos que hacen la mayor contribución a la producción , son los que más cambian. Si el error es cero, entonces no debería haber cambios en los pesos. Si el valor asociado de X es cero, cambiar el peso no hace ninguna diferencia, por lo que no se cambia.${\displaystyle y_{k}}$

Convergencia

μ controla qué tan rápido y qué tan bien converge el algoritmo a los coeficientes de filtro óptimos. Si μ es demasiado grande, el algoritmo no convergerá. Si μ es demasiado pequeño, el algoritmo converge lentamente y es posible que no pueda rastrear las condiciones cambiantes. Si μ es grande pero no demasiado grande para evitar la convergencia, el algoritmo alcanza el estado estable rápidamente pero sobrepasa continuamente el vector de peso óptimo. A veces, μ se hace grande al principio para una convergencia rápida y luego se reduce para minimizar el sobreimpulso.

Widrow y Stearns afirman en 1985 que no tienen conocimiento de una prueba de que el algoritmo LMS convergerá en todos los casos. ^[7]

Sin embargo, bajo ciertos supuestos sobre la estacionariedad y la independencia, se puede demostrar que el algoritmo convergerá si

${\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

dónde

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{l=0}^{L}\sigma _{l}^{2}}$ = suma de toda la potencia de entrada

${\displaystyle \sigma _{l}}$es el valor RMS de la 'ésima entrada${\displaystyle l}$

En el caso del filtro de línea de retardo con derivación, cada entrada tiene el mismo valor RMS porque son simplemente los mismos valores retardados. En este caso, la potencia total es

${\displaystyle \sigma ^{2}=(L+1)\sigma _{0}^{2}}$

dónde

${\displaystyle \sigma _{0}}$es el valor RMS del flujo de entrada. ^[7]${\displaystyle x_{k}}$

Esto conduce a un algoritmo LMS normalizado:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu _{\sigma }}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon _{k}\ x_{k-l}}$en cuyo caso los criterios de convergencia se convierte en: .${\displaystyle 0<\mu _{\sigma }<1}$

Filtros adaptables no lineales

El objetivo de los filtros no lineales es superar la limitación de los modelos lineales. Hay algunos enfoques de uso común: Volterra LMS, filtro adaptativo del núcleo , filtro adaptativo Spline ^[8] y filtro adaptativo Urysohn. ^{[9] [10]} Muchos autores ^[11] también incluyen redes neuronales en esta lista. La idea general detrás de Volterra LMS y Kernel LMS es reemplazar muestras de datos por diferentes expresiones algebraicas no lineales. Para Volterra LMS, esta expresión es la serie Volterra . En Spline Adaptive Filter, el modelo es una cascada de bloque dinámico lineal y no linealidad estática, que se aproxima mediante splines. En Urysohn Adaptive Filter los términos lineales en un modelo

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}w_{j}\ x_{ij}}$

son reemplazados por funciones lineales por partes

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}(x_{ij})}$

que se identifican a partir de muestras de datos.

Aplicaciones de filtros adaptativos

• Cancelación de ruido
• Predicción de señales
• Cancelación de retroalimentación adaptable
• Cancelación del eco

Implementaciones de filtros

• Filtro de mínimos cuadrados medios
• Filtro de mínimos cuadrados recursivo
• Filtro adaptativo de dominio de frecuencia de bloque multidelay

Ver también

• Filtros adaptativos 2D
• Filtro (procesamiento de señal)
• Filtro de Kalman
• Filtro adaptativo de kernel
• Predicción lineal
• Estimador MMSE
• Filtro de salchicha
• Ecuación de Wiener-Hopf

Referencias

1. Thakor, NV; Zhu, Yi-Sheng (1 de agosto de 1991). "Aplicaciones del filtrado adaptativo al análisis de ECG: cancelación de ruido y detección de arritmias". Transacciones IEEE sobre ingeniería biomédica . 38 (8): 785–794. doi : 10.1109 / 10.83591 . ISSN  0018-9294 . PMID  1937512 .
2. Widrow, Bernard; Stearns, Samuel D. (1985). Procesamiento adaptativo de señales (1ª ed.). Prentice Hall. pag. 329 . ISBN 978-0130040299.
3. Widrow p 304
4. Widrow p 212
5. Widrow p 313
6. Widrow p 100
7. Widrow p 103
8. Danilo Comminiello; José C. Príncipe (2018). Métodos de aprendizaje adaptativo para el modelado de sistemas no lineales . ISBN de Elsevier Inc. 978-0-12-812976-0.
9. M.Poluektov y A.Polar. Filtro Adaptativo Urysohn . 2019.
10. "Filtrado adaptativo no lineal" . ezcodesample.com .
11. Weifeng Liu; José C. Principe; Simon Haykin (marzo de 2010). Filtrado adaptativo de kernel: una introducción completa (PDF) . Wiley. págs. 12-20. ISBN  978-0-470-44753-6.

Fuentes

• Hayes, Monson H. (1996). Procesamiento y modelado estadístico de señales digitales . Wiley. ISBN 978-0-471-59431-4.
• Haykin, Simon (2002). Teoría del filtro adaptativo . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-048434-5.
• Widrow, Bernard; Stearns, Samuel D. (1985). Procesamiento de señales adaptativo . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-004029-9.