Filtro digital

Filtro utilizado en señales muestreadas discretamente en el procesamiento de señales

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Un filtro de respuesta de impulso finito general con n etapas, cada una con un retardo independiente, d _i , y una ganancia de amplificación, a _i .

En el procesamiento de señales , un filtro digital es un sistema que realiza operaciones matemáticas en un muestreado , en tiempo discreto de la señal para reducir o mejorar ciertos aspectos de esa señal. Esto contrasta con el otro tipo principal de filtro electrónico , el filtro analógico , que normalmente es un circuito electrónico que funciona con señales analógicas de tiempo continuo .

Un sistema de filtro digital generalmente consiste en un convertidor de analógico a digital (ADC) para muestrear la señal de entrada, seguido de un microprocesador y algunos componentes periféricos como la memoria para almacenar datos y coeficientes de filtro, etc. Instrucciones del programa (software) que se ejecutan en el El microprocesador implementa el filtro digital realizando las operaciones matemáticas necesarias en los números recibidos del ADC. En algunas aplicaciones de alto rendimiento, se utiliza un FPGA o ASIC en lugar de un microprocesador de propósito general, o un procesador de señal digital especializado (DSP) con una arquitectura paralela específica para acelerar operaciones como el filtrado. ^{[1] [2]}

Los filtros digitales pueden ser más costosos que un filtro analógico equivalente debido a su mayor complejidad, pero hacen prácticos muchos diseños que son imprácticos o imposibles como filtros analógicos. Los filtros digitales a menudo se pueden fabricar en un orden muy alto y, a menudo, son filtros de respuesta de impulso finitos, lo que permite una respuesta de fase lineal . Cuando se utilizan en el contexto de sistemas analógicos en tiempo real, los filtros digitales a veces tienen una latencia problemática (la diferencia de tiempo entre la entrada y la respuesta) debido a las conversiones de analógico a digital y de digital a analógico asociadas y al anti-aliasing. filtros , o debido a otros retrasos en su implementación.

Los filtros digitales son un lugar común y un elemento esencial de la electrónica cotidiana, como radios , teléfonos móviles y receptores AV .

Caracterización

Un filtro digital se caracteriza por su función de transferencia , o equivalentemente, su ecuación en diferencia . El análisis matemático de la función de transferencia puede describir cómo responderá a cualquier entrada. Como tal, diseñar un filtro consiste en desarrollar especificaciones apropiadas al problema (por ejemplo, un filtro de paso bajo de segundo orden con una frecuencia de corte específica) y luego producir una función de transferencia que cumpla con las especificaciones.

La función de transferencia para un filtro digital lineal, invariante en el tiempo, se puede expresar como una función de transferencia en el dominio Z ; si es causal, entonces tiene la forma: ^[3]

${\displaystyle H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\cdots +b_{N}z^{-N}}{1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\cdots +a_{M}z^{-M}}}}$

en el que el orden del filtro es el mayor de N o M . Consulte la ecuación LCCD de Z -transform para obtener más información sobre esta función de transferencia .

Esta es la forma de un filtro recursivo , que normalmente conduce a un comportamiento de respuesta de impulso infinito (IIR), pero si el denominador se iguala a la unidad , es decir, sin retroalimentación, entonces esto se convierte en un filtro de respuesta de impulso finito (FIR).

Técnicas de análisis

Puede emplearse una variedad de técnicas matemáticas para analizar el comportamiento de un filtro digital dado. Muchas de estas técnicas de análisis también pueden emplearse en diseños y, a menudo, forman la base de una especificación de filtro.

Normalmente, uno caracteriza los filtros calculando cómo responderán a una entrada simple como un impulso. Luego, se puede ampliar esta información para calcular la respuesta del filtro a señales más complejas.

Respuesta de impulso

La respuesta al impulso , a menudo denominada o , es una medida de cómo responderá un filtro a la función delta de Kronecker . ^[4] Por ejemplo, dada una ecuación en diferencias, se establecería y para y evaluaría. La respuesta al impulso es una caracterización del comportamiento del filtro. Los filtros digitales generalmente se consideran en dos categorías: respuesta de impulso infinito (IIR) y respuesta de impulso finito (FIR). En el caso de filtros FIR lineales invariantes en el tiempo, la respuesta al impulso es exactamente igual a la secuencia de coeficientes de filtro y, por lo tanto:${\displaystyle h[k]}$${\displaystyle h_{k}}$${\displaystyle x_{0}=1}$${\displaystyle x_{k}=0}$${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle \ y_{n}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}=\sum _{k=0}^{N}h_{k}x_{n-k}}$

Los filtros IIR, por otro lado, son recursivos, y la salida depende de las entradas actuales y anteriores, así como de las salidas anteriores. La forma general de un filtro IIR es así:

${\displaystyle \ \sum _{m=0}^{M}a_{m}y_{n-m}=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x_{n-k}}$

Trazar la respuesta al impulso revela cómo responde un filtro a una perturbación repentina y momentánea. Un filtro IIR siempre es recursivo. Si bien es posible que un filtro recursivo tenga una respuesta de impulso finita, un filtro no recursivo siempre tiene una respuesta de impulso finita. Un ejemplo es el filtro de media móvil (MA), que se puede implementar tanto de forma recursiva ^{[ cita requerida ]} como de forma no recursiva.

Ecuación de diferencia

En tiempo discreto sistemas, el filtro digital se implementa a menudo mediante la conversión de la función de transferencia a una ecuación de diferencia constante coeficiente lineal (LCCD) a través de la transformada Z . La función de transferencia discreta en el dominio de la frecuencia se escribe como la razón de dos polinomios. Por ejemplo:

${\displaystyle H(z)={\frac {(z+1)^{2}}{(z-{\frac {1}{2}})(z+{\frac {3}{4}})}}}$

Esto se expande:

${\displaystyle H(z)={\frac {z^{2}+2z+1}{z^{2}+{\frac {1}{4}}z-{\frac {3}{8}}}}}$

y para hacer que el filtro correspondiente sea causal , el numerador y el denominador se dividen por el orden más alto de :${\displaystyle z}$

${\displaystyle H(z)={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}={\frac {Y(z)}{X(z)}}}$

Los coeficientes de la denominador, , son los coeficientes 'de alimentación hacia atrás y de los coeficientes del numerador son los coeficientes 'de alimentación hacia adelante', . La ecuación de diferencia lineal resultante es:${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle y[n]=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y[n-k]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x[n-k]}$

o, para el ejemplo anterior:

${\displaystyle {\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {1+2z^{-1}+z^{-2}}{1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2}}}}$

reordenando términos:

${\displaystyle \Rightarrow (1+{\frac {1}{4}}z^{-1}-{\frac {3}{8}}z^{-2})Y(z)=(1+2z^{-1}+z^{-2})X(z)}$

luego, tomando la transformación z inversa :

${\displaystyle \Rightarrow y[n]+{\frac {1}{4}}y[n-1]-{\frac {3}{8}}y[n-2]=x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

y finalmente, resolviendo para :${\displaystyle y[n]}$

${\displaystyle y[n]=-{\frac {1}{4}}y[n-1]+{\frac {3}{8}}y[n-2]+x[n]+2x[n-1]+x[n-2]}$

Esta ecuación muestra cómo calcular la siguiente muestra de salida, en términos de las salidas anteriores, , la presente entrada, y las entradas anteriores, . Aplicar el filtro a una entrada en este formulario es equivalente a una realización del Formulario directo I o II (ver más abajo), dependiendo del orden exacto de evaluación.${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle y[n-p]}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x[n-p]}$

En términos sencillos, por ejemplo, como lo usa un programador de computadoras que implementa la ecuación anterior en el código, se puede describir de la siguiente manera:

${\displaystyle y}$= la salida o el valor filtrado = la entrada o el valor bruto entrante = el número de muestra, número de iteración o número de período de tiempo
${\displaystyle x}$
${\displaystyle n}$

y por lo tanto:

${\displaystyle y[n]}$= el valor actual filtrado (salida) = el último valor filtrado (salida) = el segundo al último valor filtrado (salida) = el valor de entrada sin procesar actual = el último valor de entrada sin procesar = el segundo al último valor de entrada sin procesar
${\displaystyle y[n-1]}$
${\displaystyle y[n-2]}$
${\displaystyle x[n]}$
${\displaystyle x[n-1]}$
${\displaystyle x[n-2]}$

Diseño de filtro

Artículo principal: Diseño de filtros

Aunque los filtros se entienden y calculan fácilmente, los desafíos prácticos de su diseño e implementación son importantes y son objeto de una investigación muy avanzada.

Hay dos categorías de filtro digital: el filtro recursivo y el filtro no recursivo . Estos a menudo se denominan filtros de respuesta de impulso infinito (IIR) y filtros de respuesta de impulso finito (FIR), respectivamente. ^[5]

Realización de filtros

Una vez diseñado un filtro, debe realizarse mediante el desarrollo de un diagrama de flujo de señales que describa el filtro en términos de operaciones en secuencias de muestra.

Una función de transferencia determinada puede realizarse de muchas formas. Considere cómo se podría evaluar una expresión simple como, también se podría calcular el equivalente . De la misma manera, todas las realizaciones pueden verse como "factorizaciones" de la misma función de transferencia, pero diferentes realizaciones tendrán diferentes propiedades numéricas. Específicamente, algunas realizaciones son más eficientes en términos del número de operaciones o elementos de almacenamiento requeridos para su implementación, y otras brindan ventajas como una estabilidad numérica mejorada y un error de redondeo reducido. Algunas estructuras son mejores para la aritmética de coma fija y otras pueden ser mejores para la aritmética de coma flotante .${\displaystyle ax+bx+c}$${\displaystyle x(a+b)+c}$

Forma directa I

Un enfoque sencillo para la realización de filtros IIR es la forma directa I , donde la ecuación de diferencia se evalúa directamente. Esta forma es práctica para filtros pequeños, pero puede ser ineficaz y poco práctica (numéricamente inestable) para diseños complejos. ^[6] En general, este formulario requiere 2N elementos de retardo (tanto para señales de entrada como de salida) para un filtro de orden N.

Forma directa II

La forma directa alternativa II solo necesita N unidades de retardo, donde N es el orden del filtro, potencialmente la mitad que la forma directa I. Esta estructura se obtiene invirtiendo el orden de las secciones de numerador y denominador de la Forma directa I, ya que son de hecho dos sistemas lineales y se aplica la propiedad de conmutatividad. Entonces, uno notará que hay dos columnas de retrasos ( ) que se extraen de la red central, y estos se pueden combinar ya que son redundantes, produciendo la implementación como se muestra a continuación.${\displaystyle z^{-1}}$

La desventaja es que la forma directa II aumenta la posibilidad de desbordamiento aritmético para filtros de alta Q o resonancia. ^[7] Se ha demostrado que a medida que aumenta Q , el ruido de redondeo de ambas topologías de forma directa aumenta sin límites. ^[8] Esto se debe a que, conceptualmente, la señal primero pasa a través de un filtro de todos los polos (que normalmente aumenta la ganancia en las frecuencias resonantes) antes de que el resultado se sature, luego pasa a través de un filtro todo cero (que a menudo atenúa mucho de lo que amplifica la mitad de todos los polos).

Secciones de segundo orden en cascada

Una estrategia común es realizar un filtro digital de orden superior (mayor que 2) como una serie en cascada de secciones "biquadrátricas" (o "biquadrátricas") de segundo orden ^[9] (ver filtro biquad digital ). La ventaja de esta estrategia es que el rango de coeficientes es limitado. En cascada directos Forma II secciones resultados en N elementos de retardo para los filtros de orden N . La conexión en cascada de secciones de forma I directa da como resultado N + 2 elementos de retardo, ya que los elementos de retardo de la entrada de cualquier sección (excepto la primera sección) son redundantes con los elementos de retardo de la salida de la sección anterior.

Otras formas

Esta sección necesita expansión . Puede ayudar agregando más . ( Julio de 2012 )

Otras formas incluyen:

• Transposición directa de forma I y II
• Subsecciones de orden inferior serie / cascada (segundo típico)
• Subsecciones paralelas de orden inferior (segundo típico)
  • Expansión continua de la fracción
• Celosía y escalera
  • Formas de celosía de una, dos y tres multiplicaciones
  • Formas de escalera normalizadas de tres y cuatro multiplicaciones
  • Estructuras ARMA
• Estructuras de espacio de estados:
  • óptimo (en el sentido de ruido mínimo): parámetros${\displaystyle (N+1)^{2}}$
  • bloque-óptimo y sección-óptimo: parámetros${\displaystyle 4N-1}$
  • entrada balanceada con rotación Givens: parámetros ^[10]${\displaystyle 4N-1}$
• Formas acopladas: Gold Rader (normal), Variable de estado (Chamberlin), Kingsbury, Variable de estado modificado, Zölzer, Zölzer modificado
• Filtros digitales de ondas (WDF) ^[11]
• Agarwal – Burrus (1AB y 2AB)
• Harris – Brooking
• ND-TDL
• Retroalimentación múltiple
• Formas de inspiración analógica, como filtros de clave Sallen y variables de estado
• Matrices sistólicas

Comparación de filtros analógicos y digitales

Los filtros digitales no están sujetos a las no linealidades de los componentes que complican enormemente el diseño de los filtros analógicos. Los filtros analógicos constan de componentes electrónicos imperfectos, cuyos valores se especifican con un límite de tolerancia (por ejemplo, los valores de resistencia a menudo tienen una tolerancia de ± 5%) y que también pueden cambiar con la temperatura y variar con el tiempo. A medida que aumenta el orden de un filtro analógico y, por lo tanto, su recuento de componentes, el efecto de los errores de componentes variables aumenta enormemente. En los filtros digitales, los valores de los coeficientes se almacenan en la memoria de la computadora, lo que los hace mucho más estables y predecibles. ^[12]

Debido a que los coeficientes de los filtros digitales son definidos, se pueden usar para lograr diseños mucho más complejos y selectivos; específicamente con filtros digitales, se puede lograr una ondulación de banda de paso más baja, una transición más rápida y una atenuación de banda de parada más alta que la práctica con los filtros analógicos. Incluso si el diseño pudiera lograrse utilizando filtros analógicos, el costo de ingeniería de diseñar un filtro digital equivalente probablemente sería mucho menor. Además, se pueden modificar fácilmente los coeficientes de un filtro digital para hacer un filtro adaptativo o un filtro paramétrico controlable por el usuario. Si bien estas técnicas son posibles en un filtro analógico, nuevamente son considerablemente más difíciles.

Los filtros digitales se pueden utilizar en el diseño de filtros de respuesta a impulsos finitos. Los filtros analógicos equivalentes suelen ser más complicados, ya que requieren elementos de retardo.

Los filtros digitales dependen menos de los circuitos analógicos, lo que potencialmente permite una mejor relación señal / ruido . Un filtro digital introducirá ruido en una señal durante el filtrado de paso bajo analógico, la conversión de analógico a digital, la conversión de digital a analógico y puede introducir ruido digital debido a la cuantificación. Con los filtros analógicos, cada componente es una fuente de ruido térmico (como el ruido de Johnson ), por lo que a medida que aumenta la complejidad del filtro, también lo hace el ruido.

Sin embargo, los filtros digitales introducen una latencia fundamental más alta en el sistema. En un filtro analógico, la latencia suele ser insignificante; estrictamente hablando, es el momento de que una señal eléctrica se propague a través del circuito del filtro. En los sistemas digitales, la latencia se introduce mediante elementos de retardo en la ruta de la señal digital y mediante convertidores de analógico a digital y de digital a analógico que permiten que el sistema procese señales analógicas.

En casos muy simples, es más rentable utilizar un filtro analógico. La introducción de un filtro digital requiere un circuito de sobrecarga considerable, como se discutió anteriormente, incluidos dos filtros analógicos de paso bajo.

Otro argumento a favor de los filtros analógicos es el bajo consumo de energía. Los filtros analógicos requieren sustancialmente menos energía y, por lo tanto, son la única solución cuando los requisitos de energía son estrictos.

Al hacer un circuito eléctrico en una PCB , generalmente es más fácil usar una solución digital, porque las unidades de procesamiento están altamente optimizadas a lo largo de los años. Hacer el mismo circuito con componentes analógicos ocuparía mucho más espacio cuando se utilizan componentes discretos . Dos alternativas son los FPAA ^[13] y los ASIC , pero son costosos para cantidades bajas.

Tipos de filtros digitales

Hay varias formas de caracterizar los filtros; por ejemplo:

• Un filtro lineal es una transformación lineal de muestras de entrada; otros filtros no son lineales . Los filtros lineales satisfacen el principio de superposición , es decir, si una entrada es una combinación lineal ponderada de diferentes señales, la salida es una combinación lineal ponderada de manera similar de las señales de salida correspondientes.
• Un filtro causal usa solo muestras previas de las señales de entrada o salida; mientras que un filtro no causal usa muestras de entrada futuras. Por lo general, un filtro no causal se puede convertir en un filtro causal agregándole un retraso.
• Un filtro invariante en el tiempo tiene propiedades constantes en el tiempo; otros filtros, como los filtros adaptativos, cambian con el tiempo.
• Un filtro estable produce una salida que converge a un valor constante con el tiempo o permanece acotada dentro de un intervalo finito. Un filtro inestable puede producir una salida que crece sin límites, con una entrada limitada o incluso cero.
• Un filtro de respuesta de impulso finito (FIR) usa solo las señales de entrada, mientras que un filtro de respuesta de impulso infinito (IIR) usa tanto la señal de entrada como muestras previas de la señal de salida. Los filtros FIR siempre son estables, mientras que los filtros IIR pueden ser inestables.

Un filtro se puede representar mediante un diagrama de bloques , que luego se puede utilizar para derivar un algoritmo de procesamiento de muestra para implementar el filtro con instrucciones de hardware. Un filtro también puede describirse como una ecuación en diferencia , una colección de ceros y polos o una respuesta de impulso o respuesta escalonada .

Algunos filtros digitales se basan en la transformada rápida de Fourier , un algoritmo matemático que extrae rápidamente el espectro de frecuencia de una señal, lo que permite manipular el espectro (como para crear filtros de paso de banda de muy alto orden) antes de convertir el espectro modificado de nuevo en una señal de serie temporal con una operación FFT inversa. Estos filtros dan costos computacionales O (n log n) mientras que los filtros digitales convencionales tienden a ser O (n ² ).

Otra forma de filtro digital es la de un modelo de espacio de estados . Un filtro de espacio de estado muy utilizado es el filtro de Kalman publicado por Rudolf Kalman en 1960.

Los filtros lineales tradicionales se basan generalmente en la atenuación. Alternativamente, se pueden diseñar filtros no lineales, incluidos los filtros de transferencia de energía, ^[14] que permiten al usuario mover la energía de una manera diseñada para que el ruido o los efectos no deseados se puedan mover a nuevas bandas de frecuencia, ya sea más bajas o más altas, distribuidas en un rango. de frecuencias, divididas o enfocadas. Los filtros de transferencia de energía complementan los diseños de filtros tradicionales e introducen muchos más grados de libertad en el diseño de filtros. Los filtros de transferencia de energía digital son relativamente fáciles de diseñar y de implementar y explotar la dinámica no lineal.

Ver también

• Filtro de Bessel
• Transformada bilineal
• Filtro biq
• Filtro de Butterworth
• Filtro Chebyshev
• Filtro electronico
• Filtro elíptico (filtro Cauer)
• Diseño de filtros
• Filtro de paso alto , filtro de paso bajo
• Respuesta de impulso infinita , respuesta de impulso finita
• Filtro Linkwitz-Riley
• Filtro coincidente
• Muestra (señal)
• Filtro Savitzky-Golay
• Filtro bidimensional

Referencias

1. Lyakhov, Pavel; Valueva, Maria; Valuev, Georgii; Nagornov, Nikolai (2020). "Filtrado digital de alto rendimiento en unidades de acumulación multiplicada truncadas en el sistema de número de residuo" . Acceso IEEE . 8 : 209181–209190. doi : 10.1109 / ACCESS.2020.3038496 . ISSN  2169-3536 .
2. Priya, P; Ashok, S (abril de 2018). "Diseño de filtro digital IIR usando el generador de sistema Xilinx para la implementación de FPGA" . Conferencia internacional de 2018 sobre comunicaciones y procesamiento de señales (ICCSP) : 0054–0057. doi : 10.1109 / ICCSP.2018.8524520 .
3. Smith, Julius O. "Introducción a los filtros digitales" . DSPRelated.com . El grupo de medios relacionados . Consultado el 13 de julio de 2020 .
4. "Lab.4 y 5. Introducción a los filtros FIR" (PDF) . Universidad de Ciencia y Tecnología de Jordania-Facultad de Ingeniería . Consultado el 13 de julio de 2020 .
5. A. Antoniou, Filtros digitales: análisis, diseño y aplicaciones , Nueva York, NY: McGraw-Hill, 1993., capítulo 1
6. JO Smith III, Forma directa I
7. JO Smith III, Forma directa II
8. LB Jackson, "Sobre la interacción del ruido de redondeo y el rango dinámico en filtros digitales", Bell Sys. Tech. J. , vol. 49 (febrero de 1970), reimpreso en Digital Signal Process , LR Rabiner y CM Rader, Eds. (IEEE Press, Nueva York, 1972).
9. JO Smith III, Secciones de segundo orden de la serie
10. Li, pandilla; Limin Meng; Zhijiang Xu; Jingyu Hua (julio de 2010). "Una estructura de filtro digital novedosa con mínimo ruido de redondeo". Procesamiento de señales digitales . 20 (4): 1000–1009. doi : 10.1016 / j.dsp.2009.10.018 .
11. Fettweis, Alfred (febrero de 1986). "Filtros digitales de ondas: teoría y práctica". Actas del IEEE . 74 (2): 270–327. doi : 10.1109 / proc.1986.13458 . S2CID 46094699 . 
12. http://www.dspguide.com/ch21/1.htm
13. Bains, Sunny (julio de 2008). "La respuesta de Analog a FPGA abre el campo a las masas" . EETimes .
14. Billings SA "Identificación del sistema no lineal: métodos NARMAX en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal". Wiley, 2013

Lectura adicional

• JO Smith III, Introducción a los filtros digitales con aplicaciones de audio , Centro de investigación informática en música y acústica (CCRMA), Universidad de Stanford, edición de septiembre de 2007.
• Mitra, SK (1998). Procesamiento de señales digitales: un enfoque basado en computadora . Nueva York, NY: McGraw-Hill.
• Oppenheim, AV ; Schafer, RW (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto . Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice-Hall.
• Kaiser, J. F. (1974). Diseño de filtros digitales no recursivos mediante la función de ventana Io-sinh . Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Teoría de circuitos. págs. 20–23.
• Bergen, SWA; Antoniou, A. (2005). "Diseño de filtros digitales no recursivos mediante la función de ventana ultraesférica" . Revista EURASIP sobre procesamiento de señales aplicadas . 2005 (12): 1910-1922. Código bibliográfico : 2005EJASP2005 ... 44B . doi : 10.1155 / ASP.2005.1910 .
• Parks, TW ; McClellan, JH (marzo de 1972). "Aproximación de Chebyshev para filtros digitales no recursivos con fase lineal". IEEE Trans. Teoría de circuitos . CT-19 (2): 189-194. doi : 10.1109 / TCT.1972.1083419 .
• Rabiner, LR ; McClellan, JH ; Parks, TW (abril de 1975). "Técnicas de diseño de filtros digitales FIR utilizando aproximación de Chebyshev ponderada". Proc. IEEE . 63 (4): 595–610. Código bibliográfico : 1975IEEEP..63..595R . doi : 10.1109 / PROC.1975.9794 . S2CID  12579115 .
• Deczky, AG (octubre de 1972). "Síntesis de filtros digitales recursivos utilizando el criterio mínimo de error p". IEEE Trans. Electroacústica de audio . AU-20 (4): 257–263. doi : 10.1109 / TAU.1972.1162392 .