En teoría de números , unfunción de aditivo es una función aritmética f ( n ) de la positivo número entero n tal que cada vez que un y b son primos entre sí , la función del producto es la suma de las funciones de: [1]
- f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ).
Completamente aditivo
Una función aditiva f ( n ) se dice que es completamente aditivo si f ( ab ) = f ( un ) + f ( b ) se cumple para todos los números enteros positivos a y b , incluso cuando no son primos entre sí. Totalmente aditivo también se usa en este sentido por analogía con funciones totalmente multiplicativas . Si f es una función completamente aditiva, entonces f (1) = 0.
Toda función completamente aditiva es aditiva, pero no al revés.
Ejemplos de
Ejemplos de funciones aritméticas que son completamente aditivas son:
- La restricción de la función logarítmica a N .
- La multiplicidad de un factor primo p en n , que es el mayor exponente m para la que p m divide n .
- a 0 ( n ) - la suma de los números primos que dividen n contando multiplicidad, a veces llamado sopfr ( n ), la potencia de n o el logaritmo entero de n (secuencia A001414 en el OEIS ). Por ejemplo:
- a 0 (4) = 2 + 2 = 4
- una 0 (20) = una 0 (2 2 · 5) = 2 + 2+ 5 = 9
- a 0 (27) = 3 + 3 + 3 = 9
- una 0 (144) = una 0 (2 4 · 3 2 ) = una 0 (2 4 ) + una 0 (3 2 ) = 8 + 6 = 14
- una 0 (2000) = una 0 (2 4 · 5 3 ) = una 0 (2 4 ) + una 0 (5 3 ) = 8 + 15 = 23
- a 0 (2.003) = 2003
- a 0 (54,032,858,972,279) = 1240658
- a 0 (54,032,858,972,302) = 1780417
- a 0 (20.802.650.704.327.415) = 1240681
- La función Ω ( n ), definida como el número total de factores primos de n , contando múltiples factores varias veces, a veces se denomina "función Gran Omega" (secuencia A001222 en la OEIS ). Por ejemplo;
- Ω (1) = 0, ya que 1 no tiene factores primos
- Ω (4) = 2
- Ω (16) = Ω (2 · 2 · 2 · 2) = 4
- Ω (20) = Ω (2 · 2 · 5) = 3
- Ω (27) = Ω (3 · 3 · 3) = 3
- Ω (144) = Ω (2 4 · 3 2 ) = Ω (2 4 ) + Ω (3 2 ) = 4 + 2 = 6
- Ω (2000) = Ω (2 4 · 5 3 ) = Ω (2 4 ) + Ω (5 3 ) = 4 + 3 = 7
- Ω (2.001) = 3
- Ω (2.002) = 4
- Ω (2.003) = 1
- Ω (54,032,858,972,279) = 3
- Ω (54.032.858.972.302) = 6
- Ω (20.802.650.704.327.415) = 7
Ejemplos de funciones aritméticas que son aditivas pero no completamente aditivas son:
- ω ( n ), definido como el número total de factores primos diferentes de n (secuencia A001221 en la OEIS ). Por ejemplo:
- ω (4) = 1
- ω (16) = ω (2 4 ) = 1
- ω (20) = ω (2 2 · 5) = 2
- ω (27) = ω (3 3 ) = 1
- ω (144) = ω (2 4 · 3 2 ) = ω (2 4 ) + ω (3 2 ) = 1 + 1 = 2
- ω (2000) = ω (2 4 · 5 3 ) = ω (2 4 ) + ω (5 3 ) = 1 + 1 = 2
- ω (2.001) = 3
- ω (2.002) = 4
- ω (2.003) = 1
- ω (54.032.858.972.279) = 3
- ω (54.032.858.972.302) = 5
- ω (20.802.650.704.327.415) = 5
- a 1 ( n ): la suma de los primos distintos que dividen n , a veces llamado sopf ( n ) (secuencia A008472 en la OEIS ). Por ejemplo:
- a 1 (1) = 0
- a 1 (4) = 2
- a 1 (20) = 2 + 5 = 7
- a 1 (27) = 3
- una 1 (144) = una 1 (2 4 · 3 2 ) = una 1 (2 4 ) + una 1 (3 2 ) = 2 + 3 = 5
- una 1 (2000) = una 1 (2 4 · 5 3 ) = una 1 (2 4 ) + una 1 (5 3 ) = 2 + 5 = 7
- a 1 (2.001) = 55
- a 1 (2.002) = 33
- a 1 (2.003) = 2003
- a 1 (54.032.858.972.279) = 1238665
- a 1 (54.032.858.972.302) = 1780410
- a 1 (20.802.650.704.327.415) = 1238677
Funciones multiplicativas
Desde cualquier función aditiva f ( n ) es fácil crear una relacionada función multiplicativa g ( n ) es decir, con la propiedad de que cada vez que un y b son primos entre sí tenemos:
- g ( ab ) = g ( a ) × g ( b ).
Un ejemplo de ello es g ( n ) = 2 f ( n ) .
Funciones sumatorias
Dada una función aditiva , deje que su función sumatoria se defina por . El promedio de se da exactamente como
Las funciones sumatorias sobre se puede ampliar como dónde
El promedio de la función también se expresa por estas funciones como
Siempre hay una constante absoluta tal que para todos los números naturales ,
Dejar
Suponer que es una función aditiva con tal que como ,
Luego dónde es la función de distribución gaussiana
Ejemplos de este resultado relacionado con la función omega prima y el número de divisores primos de primos desplazados incluyen lo siguiente para fijo donde las relaciones se mantienen para :
Ver también
Referencias
Otras lecturas
- Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij ( Anillo de funciones aritméticas ), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, págs. 97-108) (MSC (2000) 11A25)
- Iwaniec y Kowalski, Teoría analítica de números , AMS (2004).