Función omega principal

En teoría de números , el omega primo funciona y cuenta el número de factores primos de un número natural.De este modo (pequeño omega) cuenta cada factor primo distinto , mientras que la función relacionada (omega grande) cuenta el número total de factores primos de honrar su multiplicidad ( ver función aritmética ). Por ejemplo, si tenemos una factorización prima de de la forma para primos distintos ( ), entonces las funciones omega primas respectivas vienen dadas por y . Estas funciones de conteo de factores primos tienen muchas relaciones importantes en la teoría de números.${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$${\displaystyle \omega (n)=k}$${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

Propiedades y relaciones

La función es aditiva y es completamente aditiva . ${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Si se divide al menos una vez, lo contamos solo una vez, p. Ej.${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid \mid n}\alpha }$

Si divide los tiempos, contamos los exponentes, p. Ej.${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Si entonces es libre de cuadrados y está relacionado con la función de Möbius por ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

Si entonces es un número primo.${\displaystyle \Omega (n)=1}$${\displaystyle n}$

Se sabe que el orden promedio de la función divisor satisface . ^[1]${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$

Como muchas funciones aritméticas, no existe una fórmula explícita para o, pero hay aproximaciones.${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$

Una serie asintótica para el orden promedio de viene dada por ^[2]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

donde es la constante de Mertens y son las constantes de Stieltjes .${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$${\displaystyle \gamma _{j}}$

La función está relacionada con las sumas del divisor sobre la función de Möbius y la función del divisor, incluidas las siguientes sumas. ^[3]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

La función característica de los números primos se puede expresar mediante una convolución con la función de Möbius : ^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Una identidad exacta relacionada con la partición viene dada por ^[5]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

donde es la función de partición , es la función de Möbius , y la secuencia triangular se expande por${\displaystyle p(n)}$${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

en términos del símbolo infinito q-Pochhammer y las funciones de partición restringida que denotan respectivamente el número de 's en todas las particiones de en un número impar ( par ) de partes distintas. ^[6]${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Continuación al plano complejo

Se ha encontrado una continuación de , aunque no es analítica en todas partes. ^[7] Tenga en cuenta que se utiliza la función normalizada .${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)}$

Orden promedio y funciones sumatorias

Un orden promedio de ambos y es . Cuando es primo, el límite inferior del valor de la función es . De manera similar, si es primorial, entonces la función es tan grande como en el orden promedio. Cuando es una potencia de 2 , entonces . ^[8]${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \log \log n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (n)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$

Asintótica para las funciones sumatorio más , y se calculan, respectivamente, en Hardy y Wright como ^{[9] [10]}${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

donde es la constante de Mertens y la constante se define por${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

Otras sumas que relacionan las dos variantes de las funciones omega principales incluyen ^[11]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

y

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

Ejemplo I: una función sumatoria modificada

En este ejemplo sugerimos una variante de las funciones sumatorias estimadas en los resultados anteriores para suficientemente grande . A continuación, probamos una fórmula asintótica para el crecimiento de esta función sumatoria modificada derivada de la estimación asintótica de proporcionada en las fórmulas de la subsección principal de este artículo anterior. ^[12]${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

Para ser completamente precisos, dejemos que la función sumatoria de índice impar se defina como

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

donde denota el corchete de Iverson . Entonces tenemos eso${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

La prueba de este resultado se sigue al observar primero que

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

y luego aplicar el resultado asintótico de Hardy y Wright para la función sumatoria sobre , denotada por , en la siguiente forma:${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Ejemplo II: Funciones sumatorias para los denominados momentos factoriales de ${\displaystyle \omega (n)}$

Los cálculos ampliados en el capítulo 22.11 de Hardy y Wright proporcionan estimaciones asintóticas para la función sumatoria

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

estimando el producto de estas funciones omega de dos componentes como

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

De manera similar, podemos calcular fórmulas asintóticas de manera más general para las funciones sumatorias relacionadas sobre los llamados momentos factoriales de la función .${\displaystyle \omega (n)}$

Serie Dirichlet

Una serie de Dirichlet conocida que involucra y la función zeta de Riemann está dada por ^[13]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

También podemos ver que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

La función es completamente aditiva , donde es fuertemente aditiva (aditiva) . Ahora podemos probar un lema corto en la siguiente forma que implica fórmulas exactas para las expansiones de la serie de Dirichlet sobre ambos y : ${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$

Lema. Suponga que es una función aritmética fuertemente aditiva definida de tal manera que sus valores en potencias primos están dados por , es decir, para primos y exponentes distintos . La serie de Dirichlet se amplía con ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Prueba. Podemos ver eso

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Esto implica que

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

siempre que la serie y los productos correspondientes sean convergentes. En la última ecuación, hemos utilizado la representación del producto de Euler de la función zeta de Riemann .${\displaystyle \boxdot }$

El lema implica que para , ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega \lambda }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda (n)\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s),\end{aligned}}}$

donde es la función zeta principal y es la función lambda de Liouville .${\displaystyle P(s)}$${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

La distribución de la diferencia de funciones omega principales

La distribución de los distintos valores enteros de las diferencias es regular en comparación con las propiedades semi-aleatorias de las funciones componentes. Porque , deja que los conjuntos ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)=k\}.}$

Estos conjuntos tienen una secuencia correspondiente de densidades limitantes tales que para${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Estas densidades son generadas por los productos principales.

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

Con la constante absoluta , las densidades satisfacen ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Compare con la definición de los productos primos definidos en la última sección de ^[14] en relación con el teorema de Erdős-Kac .

Ver también

• Función aditiva
• Función aritmética
• Teorema de Erdős-Kac
• Función omega (desambiguación)
• número primo
• Entero sin cuadrados

Notas

1. Esta desigualdad se da en la Sección 22.13 de Hardy y Wright.
2. SR Finch, Dos series asintóticas, Constantes matemáticas II, Cambridge Univ. Prensa, págs. 21-32, [1]
3. Cada uno de ellos comenzó con la segunda identidad de la lista y se citan individualmente en las páginas Circunvoluciones de Dirichlet de funciones aritméticas , identidad de Menon y otras fórmulas para la función totient de Euler . La primera identidad es una combinación de dos sumas de divisores conocidas citadas en la Sección 27.6 del Manual de Funciones Matemáticas del NIST .
4. Esto se sugiere como un ejercicio en el libro de Apostol. Es decir, escribimosdónde. Podemos formar la serie de Dirichlet sobrecomo, dondees la función zeta prima . Entonces se vuelve obvio ver quees la función indicadora de los números primos.${\displaystyle f=\mu \ast \omega }$${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (n/d)\sum _{r|d}\left(\pi (r)-\pi (r-1)\right)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle D_{f}(s):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=P(s),}$${\displaystyle P(s)}$${\displaystyle f(n)=\pi (n)-\pi (n-1)=\chi _{\mathbb {P} }(n)}$
5. Esta identidad se prueba en el artículo de Schmidt citado en esta página a continuación.
6. Esta secuencia triangular también se muestra de forma destacada en los teoremas de factorización de series de Lambert probados por Merca y Schmidt (2017-2018)
7. Z. Hoelscher & E. Palsson, Contar particiones restringidas de números enteros en fracciones: simetría y modos de la función generadora y una conexión con, The PUMP Journal of Undergraduate Research , 3 (2020), 277-307. [2]${\displaystyle \omega (t)}$
8. Para obtener referencias a cada una de estas estimaciones de orden promedio, consulte las ecuaciones (3) y (18) de lareferencia MathWorld y la Sección 22.10-22.11 de Hardy y Wright.
9. Consulte las Secciones 22.10 y 22.11 para obtener referencias y derivaciones explícitas de estas estimaciones asintóticas.
10. En realidad, la prueba del último resultado dada en Hardy y Wright sugiere un procedimiento más general para extraer estimaciones asintóticas de los momentos para cualquieraconsiderando las funciones sumatorias de los momentos factoriales de la formapara casos más generales de.${\displaystyle \sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\left[\omega (n)\right]!}{\left[\omega (n)-m\right]!}}}$${\displaystyle m\geq 2}$
11. Hardy y Wright Capítulo 22.11.
12. Nb, esta suma es sugerida por el trabajo contenido en un manuscrito inédito del colaborador de esta página relacionado con el crecimiento de la función de Mertens . Por lo tanto, no es solo una estimación vacía y / o trivial obtenida con el propósito de exponer aquí.
13. Esta identidad se encuentra en la Sección 27.4 del Manual de Funciones Matemáticas del NIST .
14. Rényi, A .; Turán, P. (1958). "Sobre un teorema de Erdös-Kac" (PDF) . Acta Arithmetica . 4 (1): 71–84. doi : 10.4064 / aa-4-1-71-84 .

Referencias

• GH Hardy y EM Wright (2006). Introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford.
• HL Montgomery y RC Vaughan (2007). Teoría de números multiplicativos I. Teoría clásica (1ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.
• Schmidt, Maxie (2017). "Teoremas de factorización para productos Hadamard y derivadas de orden superior de funciones generadoras de la serie Lambert". arXiv : 1712.00608 [ math.NT ].
• Weisstein, Eric. "Factores primos distintos" . MathWorld . Consultado el 22 de abril de 2018 .

Enlaces externos

• Wiki de OEIS para números de secuencia y tablas relacionados
• Wiki de OEIS sobre factores primos