Grupo afín

En matemáticas , el grupo afín o grupo afín general de cualquier espacio afín sobre un campo $K$ es el grupo de todas las transformaciones afines invertibles del espacio en sí mismo.

Es un grupo de Lie si $K$ es el campo o los cuaterniones reales o complejos .

Relación con el grupo lineal general [ editar ]

Construcción de grupo lineal general [ editar ]

Concretamente, dado un espacio vectorial $V$ , tiene un espacio afín subyacente $A$ obtenido "olvidando" el origen, con $V$ actuando por traslación, y el grupo afín de $A$ puede describirse concretamente como el producto semidirecto de $V$ por $GL (V)$ , el grupo lineal general de $V$ :

{\ Displaystyle \ operatorname {Aff} (V) = V \ rtimes \ operatorname {GL} (V)}

La acción de $GL (V)$ sobre $V$ es la natural (las transformaciones lineales son automorfismos), por lo que esto define un producto semidirecto .

En términos de matrices, se escribe:

{\ Displaystyle \ operatorname {Aff} (n, K) = K ^ {n} \ rtimes \ operatorname {GL} (n, K)}

donde aquí la acción natural de $GL (n, K)$ sobre $K n$ es la multiplicación de matrices de un vector.

Estabilizador de un punto [ editar ]

Dado el grupo afín de un espacio afín $A$ , el estabilizador de un punto $p$ es isomorfo al grupo lineal general de la misma dimensión (por lo que el estabilizador de un punto en $Aff (2, R)$ es isomorfo a $GL (2, R)$ ); formalmente, es el grupo lineal general del espacio vectorial $(A, p)$ : recordemos que si se fija un punto, un espacio afín se convierte en un espacio vectorial.

Todos estos subgrupos son conjugados, donde la conjugación se da por traducción de $p$ a $q$ (que se define de forma única), sin embargo, ningún subgrupo en particular es una elección natural, ya que ningún punto es especial; esto corresponde a las múltiples opciones del subgrupo transversal, o división de la secuencia corta exacta

{\ Displaystyle 1 \ to V \ to V \ rtimes \ operatorname {GL} (V) \ to \ operatorname {GL} (V) \ to 1 \ ,.}

En el caso de que el grupo afín se construyera partiendo de un espacio vectorial, el subgrupo que estabiliza el origen (del espacio vectorial) es el $GL (V) original$ .

Representación matricial [ editar ]

Al representar el grupo afín como un producto semidirecto de $V$ por $GL (V)$ , luego, por construcción del producto semidirecto , los elementos son pares $(M, v)$ , donde $v$ es un vector en $V$ y $M$ es una transformada lineal en $GL (V)$ , y la multiplicación viene dada por:

{\ Displaystyle (M, v) \ cdot (N, w) = (MN, v + Mw) \ ,.}

Esto se puede representar como la matriz de bloques $(n + 1) \times (n + 1)$ :

\left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)

donde $M$ es una matriz de $n \times n$ sobre $K$ , $v$ un vector de columna de $n \times 1$ , 0 es una fila de ceros de $1 \times n$ y 1 es la matriz de bloques de identidad de 1 × 1 .

Formalmente, $Aff (V)$ es naturalmente isomorfo a un subgrupo de $GL (V \oplus K)$ , con $V$ incrustado como el plano afín ${(v, 1) | v \in V}$ , es decir, el estabilizador de este plano afín; la formulación de matriz de arriba es la (transpuesta de) la realización de este, con el $n \times n$ y $1 \times 1$ bloques correspondientes a la suma descomposición directa) $V \oplus K$ .

Una representación similar es cualquier matriz $(n + 1) \times (n + 1)$ en la que las entradas en cada columna suman 1. ^[1] La similitud $P$ para pasar del tipo anterior a este tipo es el $(n + 1) \times (n + 1)$ matriz de identidad con la fila inferior reemplazada por una fila de todos.

Cada una de estas dos clases de matrices se cierra mediante la multiplicación de matrices.

El paradigma más simple puede ser el caso $n = 1$ , es decir, las matrices triangulares superiores de 2 × 2 que representan el grupo afín en una dimensión. Es un grupo de Lie no abeliano de dos parámetros , por lo que con solo dos generadores (elementos de álgebra de Lie), $A$ y $B$ , de manera que $[$ $A$ $,$ $B$ $] =$ $B$ , donde

A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,

de modo que

e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.

Tabla de caracteres de $Aff (F p)$ [ editar ]

$Aff (F p)$ tiene el orden $p (p - 1)$ . Desde

{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,

sabemos que $Aff (F p)$ tiene $p$ clases de conjugación, a saber

{\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}

Entonces sabemos que $Aff (F p)$ tiene $p$ representaciones irreductibles. Por el párrafo anterior ( § Representación matricial ), existen $p - 1$ representaciones unidimensionales, decididas por el homomorfismo

\rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}

para $k = 1, 2,\dots p - 1$ , donde

\rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)

y $yo 2 = -1$ , $a = g j$ , $g$ es un generador del grupo $F * p$ . Luego compare con el orden de $F p$ , tenemos

p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,

por tanto, $χ p = p - 1$ es la dimensión de la última representación irreductible. Finalmente usando la ortogonalidad de representaciones irreductibles, podemos completar la tabla de caracteres de $Aff (F p)$ :

{\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}

Grupo afín plano sobre los reales [ editar ]

Los elementos de pueden tomar una forma simple en un sistema de coordenadas afines bien elegido . Más precisamente, dado y transformación afín de un plano afín en los reales , una coordenada afín existe sistema en el que tiene una de las siguientes formas, donde $una$ , $b$ , y $t$ son números reales (las condiciones dadas aseguran que las transformaciones son invertible, pero no para hacer que las clases sean distintas; por ejemplo, la identidad pertenece a todas las clases). $\operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )$

{\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}

El caso 1 corresponde a traducciones .

El caso 2 corresponde a escalas que pueden diferir en dos direcciones distintas. Cuando se trabaja con un plano euclidiano, estas direcciones no necesitan ser perpendiculares , ya que los ejes de coordenadas no necesitan ser perpendiculares.

El caso 3 corresponde a una escala en una dirección y una traslación en otra.

El caso 4 corresponde a un mapeo de cizallamiento combinado con una dilatación.

El caso 5 corresponde a un mapeo de cizallamiento combinado con una dilatación.

El caso 6 corresponde a similitudes , cuando los ejes de coordenadas son perpendiculares.

Las transformaciones afines sin ningún punto fijo pertenecen a los casos 1, 3 y 5. Las transformaciones que no conservan la orientación del plano pertenecen a los casos 2 (con $ab <0$ ) o 3 (con $a <0$ ).

La prueba se puede hacer observando primero que si una transformación afín no tiene un punto fijo, entonces la matriz del mapa lineal asociado tiene un valor propio igual a uno, y luego usando el teorema de la forma normal de Jordan para matrices reales .

Otros grupos afines [ editar ]

Caso general [ editar ]

Dado cualquier subgrupo $G <GL (V)$ del grupo lineal general , se puede producir un grupo afín, a veces denotado $Aff (G)$ de forma análoga como $Aff (G): = V ⋊ G$ .

De manera más general y abstracta, dado cualquier grupo $G$ y una representación de $G$ en un espacio vectorial $V$ ,

\rho :G\to \operatorname {GL} (V)

se obtiene ^{[nota 1]} un grupo afín asociado $V ⋊ ρ G$ : se puede decir que el grupo afín obtenido es "una extensión de grupo por una representación de vector", y como arriba, uno tiene la secuencia exacta corta:

1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1\,.

Grupo afín especial [ editar ]

El subconjunto de todas las transformaciones afines invertibles que conservan una forma de volumen fijo, o en términos del producto semidirecto, el conjunto de todos los elementos $(M, v)$ con $M$ del determinante 1, es un subgrupo conocido como grupo afín especial .

Subgrupo proyectivo [ editar ]

Suponiendo el conocimiento de la proyectividad y el grupo proyectivo de la geometría proyectiva , el grupo afín se puede especificar fácilmente. Por ejemplo, Günter Ewald escribió: ^[2]

El conjunto de todas las colinaciones proyectivas de

P

n

es un grupo que podemos llamar grupo proyectivo de

P

n

. Si procedemos de

P

n

al espacio afín

A

n

declarando que un hiperplano

ω

es un hiperplano en el infinito , obtenemos el grupo afín de

A

n

como el subgrupo de que consta de todos los elementos de ese deje

ω

fijo.

{\mathfrak {P}}

{\mathfrak {A}}

{\mathfrak {P}}

{\mathfrak {P}}

{\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}

Grupo Poincaré [ editar ]

El grupo de Poincaré es el grupo afín del grupo de Lorentz $O (1,3)$ :

\mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)

Este ejemplo es muy importante en relatividad .

Ver también [ editar ]

Holomorfo

Notas [ editar ]

^ Dado que $GL (V) <Aut (V)$ . Tenga en cuenta que este confinamiento es en general adecuada, ya que por "automorfismos" uno de los medios del grupo automorfismos, es decir, conservan la estructura del grupo en $V$ (la adición y el origen), pero no necesariamente la multiplicación escalar, y estos grupos difieren si se trabaja sobre $R$ .

Referencias [ editar ]

^ Poole, David G. (noviembre de 1995). "El Grupo Estocástico". American Mathematical Monthly . 102 (9): 798–801.
^ Ewald, Günter (1971). Geometría: Introducción . Belmont: Wadsworth. pag. 241. ISBN 9780534000349.

Lyndon, Roger (1985). "Sección VI.1". Grupos y geometría . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-31694-4.

[2] Dado que $GL (V) <Aut (V)$ . Tenga en cuenta que este confinamiento es en general adecuada, ya que por "automorfismos" uno de los medios del grupo automorfismos, es decir, conservan la estructura del grupo en $V$ (la adición y el origen), pero no necesariamente la multiplicación escalar, y estos grupos difieren si se trabaja sobre $R$ .

[1] Poole, David G. (noviembre de 1995). "El Grupo Estocástico". American Mathematical Monthly . 102 (9): 798–801.

[3] Ewald, Günter (1971). Geometría: Introducción . Belmont: Wadsworth. pag. 241. ISBN 9780534000349.

[1]