En matemáticas, un sistema de raíces afines es un sistema de raíces de funciones lineales afines en un espacio euclidiano . Se utilizan en la clasificación de álgebras de Lie afines y superalgebras, y grupos algebraicos p -ádicos semisimple , y corresponden a familias de polinomios de Macdonald . Kac y Moody utilizaron los sistemas de raíces afines reducidos en su trabajo sobre las álgebras de Kac-Moody . Posiblemente, Macdonald (1972) y Bruhat & Tits (1972) introdujeron y clasificaron sistemas de raíces afines no reducidos (excepto que ambos artículos omitieron accidentalmente elDiagrama de Dynkin ).
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Definición
Sea E un espacio afín y V el espacio vectorial de sus traslaciones. Recordemos que V actúa con fidelidad y transitiva en E . En particular, si, entonces está bien definido un elemento en V denotado como que es el único elemento w tal que .
Ahora suponga que tenemos un producto escalar en V . Esto define una métrica en E como.
Considere el espacio vectorial F de funciones lineales afines . Habiendo arreglado un, cada elemento en F se puede escribir como con una función lineal en V que no depende de la elección de.
Ahora el dual de V se puede identificar con V gracias al producto escalar elegido y podemos definir un producto en F como. Colocar y para cualquier y respectivamente. La identificación nos permite definir un reflejosobre E de la siguiente manera:
Por transposición actúa también en F como
Un sistema de raíces afines es un subconjunto tal que:
- S abarca F y sus elementos no son constantes.
- para cada .
- para cada .
Los elementos de S se denominan raíces afines . Denotar con el grupo generado por el con . Tambien preguntamos
- como un grupo discreto actúa correctamente en E .
Esto significa que para dos compactos cualesquiera los elementos de tal que son un número finito.
Clasificación
Los sistemas de raíces afines A 1 = B 1 = B∨
1= C 1 = C∨
1son iguales, al igual que los pares B 2 = C 2 , B∨
2= C∨
2y A 3 = D 3
El número de órbitas dado en la tabla es el número de órbitas de raíces simples bajo el grupo de Weyl. En los diagramas de Dynkin , las raíces simples α no reducidas (con 2α una raíz) están coloreadas de verde. El primer diagrama de Dynkin de una serie a veces no sigue la misma regla que los demás.
Sistema de raíces afines | Numero de orbitas | Diagrama de Dynkin |
---|---|---|
A n ( n ≥ 1) | 2 si n = 1, 1 si n ≥2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
B n ( n ≥ 3) | 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
B∨ n( n ≥ 3) | 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
C n ( n ≥ 2) | 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
C∨ n( n ≥ 2) | 3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
BC n ( n ≥ 1) | 2 si n = 1, 3 si n ≥ 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
D n ( n ≥ 4) | 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
E 6 | 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
E 7 | 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
E 8 | 1 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
F 4 | 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
F∨ 4 | 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
G 2 | 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
GRAMO∨ 2 | 2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
( BC n , C n ) ( n ≥ 1) | 3 si n = 1, 4 si n ≥2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
( C∨ n, BC n ) ( n ≥ 1) | 3 si n = 1, 4 si n ≥2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
( B n , B∨ n) ( n ≥ 2) | 4 si n = 2, 3 si n ≥3 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
( C∨ n, C n ) ( n ≥ 1) | 4 si n = 1, 5 si n ≥2 | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Sistemas de raíces afines irreductibles por rango
- Rango 1 : A 1 , BC 1 , ( BC 1 , C 1 ), ( C∨
1, BC 1 ), ( C∨
1, C 1 ). - Rango 2 : A 2 , C 2 , C∨
2, BC 2 , ( BC 2 , C 2 ), ( C∨
2, BC 2 ), ( B 2 , B∨
2), ( C∨
2, C 2 ), G 2 , G∨
2. - Rango 3 : A 3 , B 3 , B∨
3, C 3 , C∨
3, BC 3 , ( BC 3 , C 3 ), ( C∨
3, BC 3 ), ( B 3 , B∨
3), ( C∨
3, C 3 ). - Rango 4 : A 4 , B 4 , B∨
4, C 4 , C∨
4, BC 4 , ( BC 4 , C 4 ), ( C∨
4, BC 4 ), ( B 4 , B∨
4), ( C∨
4, C 4 ), D 4 , F 4 , F∨
4. - Rango 5 : A 5 , B 5 , B∨
5, C 5 , C∨
5, BC 5 , ( BC 5 , C 5 ), ( C∨
5, BC 5 ), ( B 5 , B∨
5), ( C∨
5, C 5 ), D 5 . - Rango 6 : A 6 , B 6 , B∨
6, C 6 , C∨
6, BC 6 , ( BC 6 , C 6 ), ( C∨
6, BC 6 ), ( B 6 , B∨
6), ( C∨
6, C 6 ), D 6 , Mi 6 , - Rango 7 : A 7 , B 7 , B∨
7, C 7 , C∨
7, BC 7 , ( BC 7 , C 7 ), ( C∨
7, BC 7 ), ( B 7 , B∨
7), ( C∨
7, C 7 ), D 7 , Mi 7 , - Rango 8 : A 8 , B 8 , B∨
8, C 8 , C∨
8, BC 8 , ( BC 8 , C 8 ), ( C∨
8, BC 8 ), ( B 8 , B∨
8), ( C∨
8, C 8 ), D 8 , Mi 8 , - Rango n ( n > 8) : A n , B n , B∨
n, C n , C∨
n, BC n , ( BC n , C n ), ( C∨
n, BC n ), ( B n , B∨
n), ( C∨
n, C n ), D n .
Aplicaciones
- Macdonald (1972) mostró que los sistemas de raíces afines indexan las identidades de Macdonald
- Bruhat y Tits (1972) utilizaron sistemas de raíces afines para estudiar grupos algebraicos p -ádicos.
- Los sistemas de raíces afines reducidos clasifican las álgebras afines de Kac-Moody , mientras que los sistemas de raíces afines no reducidos corresponden a las superalgebras afines de Lie .
- Macdonald (2003) mostró que los sistemas de raíces afines indexan familias de polinomios de Macdonald .
Referencias
- Bruhat, F .; Tits, Jacques (1972), "Groupes réductifs sur un corps local" , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 41 : 5–251, doi : 10.1007 / bf02715544 , ISSN 1618-1913 , MR 0327923
- Macdonald, IG (1972), "Affine root systems and Dedekind's η-function", Inventiones Mathematicae , 15 : 91–143, Bibcode : 1971InMat..15 ... 91M , doi : 10.1007 / BF01418931 , ISSN 0020-9910 , MR 0357528
- Macdonald, IG (2003), Álgebras de Affine Hecke y polinomios ortogonales , Cambridge Tracts in Mathematics, 157 , Cambridge: Cambridge University Press, págs. X + 175, doi : 10.2277 / 0521824729 , ISBN 978-0-521-82472-9, MR 1976581