En matemáticas , la prueba de Dirichlet es un método para probar la convergencia de una serie . Lleva el nombre de su autor Peter Gustav Lejeune Dirichlet y fue publicado póstumamente en el Journal de Mathématiques Pures et Appliquées en 1862. [1]
Declaración
La prueba establece que si es una secuencia de números reales yuna secuencia de números complejos que satisfacen
- es monotónico
- por cada entero positivo N
donde M es una constante, entonces la serie
converge.
Prueba
Dejar y .
De la suma por partes , tenemos que. Desdeestá delimitado por M y, el primero de estos términos se aproxima a cero, como .
Tenemos, para cada k ,. Pero si está disminuyendo,
- ,
que es una suma telescópica , que es igual a y por lo tanto se acerca como . Por lo tanto,converge. Y si esta incrementando,
- ,
que es de nuevo una suma telescópica, que es igual a y por lo tanto se acerca como . Así, de nuevo, converge.
Entonces, también converge mediante la prueba de comparación directa . Las seriesconverge, también, por la prueba de convergencia absoluta . Por eso converge.
Aplicaciones
Un caso particular de la prueba de Dirichlet es la prueba de series alternas más comúnmente utilizada para el caso
Otro corolario es que converge siempre que es una secuencia decreciente que tiende a cero.
Integrales impropias
Un enunciado análogo para la convergencia de integrales impropias se prueba usando la integración por partes. Si la integral de una función f está acotada uniformemente en todos los intervalos, y g es una función no negativa decreciente monótonamente, entonces la integral de fg es una integral impropia convergente.
Notas
- ^ Demonstration d'un théorème d'Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2da serie, tomo 7 (1862), págs. 253–255 Archivado el 21 de julio de 2011 en la Wayback Machine .
Referencias
- Hardy, GH, A Course of Pure Mathematics , novena edición, Cambridge University Press, 1946. (págs. 379–380).
- Voxman, William L., Cálculo avanzado: una introducción al análisis moderno , Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1981. (§8.B.13-15) ISBN 0-8247-6949-X .