Corcho Akbulut

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En topología , un corcho de Akbulut es una estructura que se usa con frecuencia para mostrar que en 4 dimensiones, el teorema de h-cobordismo suave falla. Lleva el nombre del matemático turco Selman Akbulut . ^{[1] [2]}

Una variedad Stein 4 compacta contráctil con involución en su límite se llama corcho Akbulut, si se extiende a un auto-homeomorfismo pero no puede extenderse a un auto-difeomorfismo en el interior (por lo tanto, un corcho es una copia exótica de sí mismo en relación con su límite). Un corcho se llama un corcho de una suavizar 4-colector , si la eliminación de y re-pegado que a través de cambios en la estructura lisa de (esta operación se denomina "torsión de corcho"). Cualquier copia exótica de un colector de 4 colectores cerrado simplemente conectado se diferencia por un solo giro de corcho. ^{[3] [4] [5] [6] [7]} ${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle (C, F)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle C}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X '}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

La idea básica del corcho de Akbulut es que cuando se intenta utilizar el teorema de h-corbodismo en cuatro dimensiones, el corcho es el subcobordismo que contiene todas las propiedades exóticas de los espacios conectados con el cobordismo, y cuando se eliminan los dos espacios se convierten en trivialmente h-cobordante y suave. Esto muestra que en cuatro dimensiones, aunque el teorema no nos dice que dos variedades son difeomórficas (solo homeomórficas ), "no están lejos" de ser difeomórficas. ^[8]

Para ilustrar esto (sin pruebas), considérese un h-cobordismo suave entre dos 4-múltiples y . Entonces dentro hay un sub-cobordismo entre y y hay un difeomorfismo${\ Displaystyle W ^ {5}}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle K ^ {5}}$${\ Displaystyle A ^ {4} \ subconjunto M}$${\ Displaystyle B ^ {4} \ subconjunto N}$

que es el contenido del teorema de h-cobordismo para n  ≥ 5 (aquí int  X se refiere al interior de una variedad X ). Además, A y B son difeomorfa con un difeomorfismo que es una involución en el límite ∂ A  = ∂ B . ^[9] Por lo tanto, puede verse que la h-corbordism K conecta A con su "invertida" imagen B . Este sub-colector A es el corcho Akbulut.

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