En matemáticas , un espacio topológico X es contractible si el mapa de identidad en X es nulo-homotópico, es decir, si es homotópico a algún mapa constante. [1] [2] Intuitivamente, un espacio contráctil es aquel que se puede reducir continuamente a un punto dentro de ese espacio.
Propiedades
Un espacio contráctil es precisamente uno con el tipo de homotopía de un punto. De ello se deduce que todos los grupos de homotopía de un espacio contráctil son triviales . Por lo tanto, cualquier espacio con un grupo de homotopía no trivial no puede ser contraíble. De manera similar, dado que la homología singular es un invariante de homotopía, los grupos de homología reducidos de un espacio contráctil son todos triviales.
Para un espacio topológico X, los siguientes son todos equivalentes:
- X es contráctil (es decir, el mapa de identidad es homotópico nulo).
- X es homotopía equivalente a un espacio de un punto.
- La deformación X se retrae sobre un punto. (Sin embargo, existen espacios contráctiles que no se deforman fuertemente y se retraen hasta un punto).
- Para cualquier espacio Y , dos mapas f , g : Y → X son homotópicos.
- Para cualquier espacio Y , cualquier mapa f : Y → X es nulo-homotópico.
El cono en un espacio X siempre es contráctil. Por lo tanto, cualquier espacio puede integrarse en uno contráctil (lo que también ilustra que los subespacios de los espacios contráctiles no necesitan ser contractuales).
Además, X es contráctil si y sólo si existe una retracción del cono de X a X .
Cada espacio contráctil está conectado por caminos y simplemente conectado . Además, dado que todos los grupos de homotopía superiores desaparecen, cada espacio contráctil está n conectado para todo n ≥ 0.
Espacios contractuales localmente
Un espacio topológico X es localmente contráctil en un punto x si para cada barrio U de x existe un entorno V de x contenida en U de tal modo que la inclusión de V es nulhomotopic en U . Un espacio es localmente contráctil si es localmente contráctil en cada punto. Esta definición se conoce ocasionalmente como "localmente contractible del topólogo geométrico", aunque es el uso más común del término. En el texto de topología algebraica estándar de Hatcher , esta definición se conoce como "débilmente contractible localmente", aunque ese término tiene otros usos.
Si cada punto tiene una base local de vecindarios contractuales, entonces decimos que X es fuertemente contractible localmente . Los espacios contraíbles no son necesariamente contraíbles localmente ni viceversa. Por ejemplo, el espacio del peine es contráctil pero no localmente contráctil (si lo fuera, estaría conectado localmente, lo cual no es así). Los espacios localmente contraíbles están localmente n conectados para todo n ≥ 0. En particular, están localmente conectados de forma simple , localmente conectados por caminos y localmente conectados . El círculo es (fuertemente) contraíble localmente pero no contraíble.
La contractibilidad local fuerte es una propiedad estrictamente más fuerte que la contractibilidad local; los contraejemplos son sofisticados, siendo el primero de Borsuk y Mazurkiewicz en su artículo Sur les rétractes absolus indécomposables , CR. Acad. Sci. París 199 (1934), 110-112).
Existe cierto desacuerdo sobre qué definición es la definición "estándar" de contractibilidad local; la primera definición se usa más comúnmente en topología geométrica, especialmente históricamente, mientras que la segunda definición encaja mejor con el uso típico del término "local" con respecto a las propiedades topológicas. Siempre se debe tener cuidado con las definiciones al interpretar los resultados sobre estas propiedades.
Ejemplos y contraejemplos
- Cualquier espacio euclidiano es contráctil, al igual que cualquier dominio estelar en un espacio euclidiano.
- El colector Whitehead es contráctil.
- Las esferas de cualquier dimensión finita no se pueden contraer.
- La esfera unitaria en un espacio de Hilbert de dimensión infinita es contráctil .
- La casa de dos habitaciones es un ejemplo estándar de un espacio que se puede contraer, pero no de forma intuitiva.
- El sombrero de Dunce es contráctil, pero no plegable .
- El cono en un pendiente hawaiano es contráctil (ya que es un cono), pero no localmente contráctil o incluso localmente simplemente conectado.
- Todos los colectores y complejos CW se pueden contraer localmente , pero en general no se pueden contraer.
- El círculo de Varsovia se obtiene "cerrando" la curva sinusoidal del topólogo mediante un arco que conecta (0, -1) y (1, sin (1)). Es un continuo unidimensional cuyos grupos de homotopía son todos triviales, pero no es contráctil.
Referencias
- ^ Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
- ^ Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-79540-0.