Mónada (teoría de categorías)

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En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una mónada (también triple , tríada , construcción estándar y construcción fundamental ) ^[1] es un monoide en la categoría de endofuntores . Un endofuntor es un funtor que mapea una categoría a sí mismo, y una mónada es un endofunctor junto con dos transformaciones naturales requeridas para cumplir ciertas condiciones de coherencia . Las mónadas se utilizan en la teoría de pares de funtores adjuntos y generalizanoperadores de cierre en conjuntos parcialmente ordenados a categorías arbitrarias. Las mónadas también son útiles en la teoría de tipos de datos y en lenguajes de programación funcionales , lo que permite que los lenguajes con estados no mutables hagan cosas como simular bucles for; ver Mónada (programación funcional) .

Una mónada es un cierto tipo de endofunctor . Por ejemplo, si y son un par de funtores adjuntos , con adjunto izquierdo a , entonces la composición es una mónada. Si y son funtores inversos, la mónada correspondiente es el funtor identidad . En general, las adjunciones no son equivalencias , sino que relacionan categorías de distinta naturaleza. La teoría de la mónada es importante como parte del esfuerzo por captar qué es lo que "preservan" los adjuntos. La otra mitad de la teoría, de lo que se puede aprender igualmente de la consideración de , se discute bajo la teoría dual de las comonades .${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$${\displaystyle G\circ F}$${\ estilo de visualización F}$${\ estilo de visualización G}$${\displaystyle F\circ G}$

A lo largo de este artículo se denota una categoría . Una mónada on consta de un endofuntor junto con dos transformaciones naturales : (donde denota el funtor identidad on ) y (donde es el funtor from to ). Estos deben cumplir las siguientes condiciones (a veces llamadas condiciones de coherencia ):${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización C}$${\displaystyle T\dos puntos C\to C}$${\displaystyle \eta \colon 1_{C}\a T}$${\ estilo de visualización 1_ {C}}$${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización \ mu \ dos puntos T^{2} \ a T}$${\ estilo de visualización T^{2}}$${\displaystyle T\circ T}$${\ estilo de visualización C}$${\ estilo de visualización C}$

Consulte el artículo sobre transformaciones naturales para obtener una explicación de las notaciones y , o consulte a continuación los diagramas conmutativos que no utilizan estas nociones:${\ Displaystyle T \ mu}$${\ estilo de visualización \ mu T}$

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