En matemáticas , y en particular en la teoría de categorías , una condición de coherencia es una colección de condiciones que requieren que varias composiciones de morfismos elementales sean iguales. Normalmente, los morfismos elementales forman parte de los datos de la categoría . Un teorema de coherencia establece que, para estar seguro de que se cumplen todas estas igualdades, basta con comprobar un pequeño número de identidades.
Un ejemplo ilustrativo: una categoría monoidal
Parte de los datos de una categoría monoidal es un morfismo elegido, llamado el asociado :
por cada triple de objetos en la categoría. Usando composiciones de estos, se puede construir un morfismo
En realidad, hay muchas formas de construir tal morfismo como una composición de varios . Una condición de coherencia que se impone típicamente es que estas composiciones sean todas iguales.
Por lo general, uno prueba una condición de coherencia utilizando un teorema de coherencia , que establece que solo es necesario verificar algunas igualdad de composiciones para demostrar que el resto también se cumple. En el ejemplo anterior, solo es necesario verificar que, para todos los cuádruples de objetos, el siguiente diagrama conmuta.
Cualquier par de morfismos de a construidos como composiciones de varios son iguales.
Más ejemplos
Dos ejemplos simples que ilustran la definición son los siguientes. Ambos son directamente de la definición de una categoría.
Identidad
Deje f : A → B sea un morfismo de una categoría que contiene dos objetos A y B . Asociados con estos objetos son los morfismos identidad 1 A : A → A y 1 B : B → B . Al componerlos con f , construimos dos morfismos:
- f o 1 A : A → B , y
- 1 B o f : A → B .
Ambos son morfismos entre los mismos objetos que f . Tenemos, en consecuencia, la siguiente declaración de coherencia:
- f o 1 A = f = 1 B o f .
Asociatividad de composición
Que f : A → B , g : B → C y h : C → D sea morfismos de una categoría que contiene objetos A , B , C y D . Mediante composición repetida, podemos construir un morfismo de A a D de dos formas:
- ( H o g ) o f : A → D , y
- h o ( g o f ): A → D .
Ahora tenemos la siguiente declaración de coherencia:
- ( H o g ) o f = h o ( g o f ) .
En estos dos ejemplos particulares, los enunciados de coherencia son teoremas para el caso de una categoría abstracta, ya que se siguen directamente de los axiomas; de hecho, son axiomas. Para el caso de una estructura matemática concreta, pueden verse como condiciones, es decir, como requisitos para que la estructura matemática considerada sea una categoría concreta, requisitos que dicha estructura puede cumplir o no cumplir.
Referencias
- Mac Lane, Saunders (1971). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas Springer-Verlag. Especialmente el Capítulo VII Parte 2.