Functor

Mapeo entre categorías en la teoría de categorías matemáticas

Este artículo trata sobre el concepto matemático. Para otros usos, consulte Functor (desambiguación) .

La "funcionalidad" vuelve a dirigir aquí. Para la conjetura de la functorialidad de Langlands en la teoría de números, consulte el programa de Langlands § Functorialidad .

En matemáticas , específicamente en la teoría de categorías , un functor es un mapeo entre categorías . Los funciones se consideraron por primera vez en la topología algebraica , donde los objetos algebraicos (como el grupo fundamental ) están asociados a espacios topológicos , y los mapas entre estos objetos algebraicos están asociados a mapas continuos entre espacios. Hoy en día, los functores se utilizan en las matemáticas modernas para relacionar varias categorías. Por tanto, los functores son importantes en todas las áreas de las matemáticas a las que se aplica la teoría de categorías .

Los matemáticos tomaron prestadas las palabras categoría y functor de los filósofos Aristóteles y Rudolf Carnap , respectivamente. ^[1] Este último usó el functor en un contexto lingüístico ; ^[2] ver palabra funcional .

Definición

Deje C y D sean categorías . Un funtor F de C a D es un mapeo que ^[3]

• asocia cada objeto en C a un objeto en D ,${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$
• asocia cada morfismo en C a un morfismo en D de modo que se cumplan las dos condiciones siguientes:${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\colon F(X)\to F(Y)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$para cada objeto en C ,${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$para todos los morfismos y en C .${\displaystyle f\colon X\to Y\,\!}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Es decir, los functores deben preservar los morfismos de identidad y la composición de los morfismos.

Covarianza y contravarianza

Ver también: Covarianza y contravarianza (informática)

Hay muchas construcciones en matemáticas que serían functores de no ser por el hecho de que "dan vuelta a los morfismos" y "revierten la composición". Luego definimos un functor contravariante F de C a D como un mapeo que

• asocia a cada objeto en C con un objeto en D ,${\displaystyle X}$${\displaystyle F(X)}$
• asocia a cada morfismo en C con un morfismo en D tal que se cumplen las siguientes dos condiciones:${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle F(f)\colon F(Y)\to F(X)}$
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$para cada objeto en C ,${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$para todos los morfismos y en C .${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$

Tenga en cuenta que los functores contravariantes invierten la dirección de la composición.

Los functores ordinarios también se denominan functores covariantes para distinguirlos de los contravariantes. Tenga en cuenta que también se puede definir un funtor contravariante como un funtor covariante en la categoría opuesta . ^[4] Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones de forma covariable. Es decir, en lugar de decir es un funtor contravariante, simplemente escriben (oa veces ) y lo llaman funtor.${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F\colon C\to D}$${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to D}$${\displaystyle F\colon C\to D^{\mathrm {op} }}$

Los functores contravariantes también se denominan ocasionalmente cofunctores . ^[5]

Existe una convención que se refiere a "vectores", es decir, campos vectoriales , elementos del espacio de secciones de un haz tangente, como "contravariantes" y a "covectores", es decir, formas 1 , elementos del espacio de secciones de un paquete cotangente, como "covariante". Esta terminología se origina en la física, y su razón de ser tiene que ver con la posición de los índices ("arriba" y "abajo") en expresiones como para o para En este formalismo se observa que el símbolo de transformación de coordenadas (que representa la matriz ) actúa sobre los vectores base "de la misma manera"como en las "coordenadas de covector":${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle TM}$${\displaystyle \Gamma (T^{*}M)}$ ${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle x'^{\,i}=\Lambda _{j}^{i}x^{j}}$${\displaystyle \mathbf {x} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {x} }$${\displaystyle \omega '_{i}=\Lambda _{i}^{j}\omega _{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}{\boldsymbol {\Lambda }}^{T}.}$${\displaystyle \Lambda _{i}^{j}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}^{T}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\Lambda _{i}^{j}\mathbf {e} _{j}}$—Mientras que actúa "de manera opuesta" sobre las "coordenadas vectoriales" (pero "de la misma manera" que sobre los covectors de base :) . Esta terminología es contraria a la utilizada en la teoría de categorías porque son los covectors los que tienen retrocesos en general y, por lo tanto , son contravariantes , mientras que los vectores en general son covariantes ya que pueden avanzar . Consulte también Covarianza y contravarianza de vectores .${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=\Lambda _{j}^{i}\mathbf {e} ^{j}}$

Funtor opuesto

Cada funtor induce el funtor opuesto , donde y son las categorías opuestas a y . ^[6] Por definición, asigna objetos y morfismos de forma idéntica a . Dado que no coincide con como categoría, y de forma similar , se distingue de . Por ejemplo, al componer con , se debe usar o . Tenga en cuenta que, a raíz de la propiedad de la categoría opuesta , .${\displaystyle F\colon C\to D}$ ${\displaystyle F^{\mathrm {op} }\colon C^{\mathrm {op} }\to D^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle D^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle C^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\colon C_{0}\to C_{1}}$${\displaystyle G\colon C_{1}^{\mathrm {op} }\to C_{2}}$${\displaystyle G\circ F^{\mathrm {op} }}$${\displaystyle G^{\mathrm {op} }\circ F}$${\displaystyle (F^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }=F}$

Bifunctores y multifunctores

Un bifunctor (también conocido como funtor binario ) es un funtor cuyo dominio es una categoría de producto . Por ejemplo, el functor Hom es del tipo C ^op × C → Set . Puede verse como un funtor en dos argumentos. El functor de Hom es un ejemplo natural; es contravariante en un argumento, covariante en el otro.

Un multifunctor es una generalización del concepto de functor en n variables. Entonces, por ejemplo, un bifunctor es un multifunctor con n = 2 .

Ejemplos

Diagrama : para las categorías C y J , un diagrama de tipo J en C es un funtor covariante.${\displaystyle D\colon J\to C}$

(Categoría teórica) pregajo : para las categorías C y J , un J -prefacto en C es un funtor contravariante.${\displaystyle D\colon C\to J}$

Presheaves: Si X es un espacio topológico , entonces los conjuntos abiertos en X forman un conjunto parcialmente ordenado Abierto ( X ) bajo inclusión. Como todo conjunto parcialmente ordenado, Open ( X ) forma una pequeña categoría agregando una sola flecha U → V si y solo si . Funtores contravariantes en Open ( X ) se llaman prehaces en X . Por ejemplo, al asignar a cada conjunto abierto U el álgebra asociativa de funciones continuas de valor real en U${\displaystyle U\subseteq V}$, Se obtiene una prehaz de las álgebra sobre X .

Funtor constante: El funtor C → D que mapea cada objeto de C a un objeto fijo X en D y cada morfismo en C a la morfismo identidad en X . Dicho funtor se denomina funtor constante o de selección .

Endofunctor : un functor que asigna una categoría a esa misma categoría; por ejemplo, functor polinomial .

Funtor de identidad : en la categoría C , escrito 1 _C o id _C , mapea un objeto a sí mismo y un morfismo a sí mismo. El funtor de identidad es un endofunctor.

Funtor diagonal : El funtor diagonal se define como el funtor de D a la categoría de funtor D ^C que envía cada objeto en D al funtor constante en ese objeto.

Funtor límite : para una categoría de índice fija J , si cada funtor J → C tiene un límite (por ejemplo, si C está completo), entonces el functor límite C ^J → C asigna a cada funtor su límite. La existencia de este funtor se puede probar si se tiene en cuenta que es el derecho adjunto al funtor diagonal e invoca el teorema del funtor adjunto de Freyd . Esto requiere una versión adecuada del axioma de elección . Se aplican observaciones similares al functor colimit (que asigna a cada funtor su colimit, y es covariante).

Functor de conjuntos de potencia: El functor de conjunto de potencia P  : Conjunto → Conjunto asigna cada conjunto a su conjunto de potencia y cada función al mapa que envía a su imagen . También se puede considerar el functor de conjunto de potencia contravariante que envía al mapa que envía a su imagen inversa${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle U\in {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle f(U)\in {\mathcal {P}}(Y)}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle V\subseteq Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(V)\subseteq X.}$

Por ejemplo, si entonces . Supongamos y . Luego está la función que envía cualquier subconjunto de a su imagen , lo que en este caso significa , donde denota el mapeo debajo , por lo que esto también podría escribirse como . Para los otros valores, tenga en cuenta que, en consecuencia, genera la topología trivial en . También tenga en cuenta que aunque la función en este ejemplo se asignó al conjunto de potencia de , ese no tiene por qué ser el caso en general.${\displaystyle X=\{0,1\}}$${\displaystyle F(X)={\mathcal {P}}(X)=\{\{\},\{0\},\{1\},X\}}$${\displaystyle f(0)=\{\}}$${\displaystyle f(1)=X}$${\displaystyle F(f)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(U)}$${\displaystyle \{\}\mapsto f(\{\})=\{\}}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle F(f)}$${\displaystyle (F(f))(\{\})=\{\}}$${\displaystyle \{0\}\mapsto f(\{0\})=\{f(0)\}=\{\{\}\},\{1\}\mapsto f(\{1\})=\{f(1)\}=\{X\},\{0,1\}\mapsto f(\{0,1\})=\{f(0),f(1)\}=\{\{\},X\}.}$${\displaystyle f(\{0,1\})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$

Espacio vectorial dual : el mapa que asigna a cada espacio vectorial su espacio dual y a cada mapa lineal su dual o transposición es un funtor contravariante de la categoría de todos los espacios vectoriales sobre un campo fijopara sí mismo.

Grupo fundamental: Considere la categoría de espacios topológicos apuntados , es decir, espacios topológicos con puntos distinguidos. Los objetos son pares ( X , x ₀ ) , donde X es un espacio topológico y x ₀ es un punto en X . Un morfismo de ( X , x ₀ ) a ( Y , y ₀ ) viene dado por un mapa continuo f  : X → Y con f ( x₀ ) = y ₀ .

Para cada espacio topológico X con punto distinguido x ₀ , se puede definir el grupo fundamental basado en x ₀ , denotado π ₁ ( X , x ₀ ) . Este es el grupo de clases de homotopía de bucles basados ​​en x ₀ , con la operación de grupo de concatenación. Si f  : X → Y es un morfismo de espacios puntiagudos , entonces cada bucle en X con punto base x ₀ se puede componer conf para producir un bucle en Y con punto base y ₀ . Esta operación es compatible con la relación de equivalencia de homotopía y la composición de bucles, y obtenemos un homomorfismo de grupo de π ( X , x ₀ ) a π ( Y , y ₀ ) . Obtenemos así un funtor de la categoría de espacios topológicos apuntados a la categoría de grupos .

En la categoría de espacios topológicos (sin punto distinguido), se consideran clases de homotopía de curvas genéricas, pero no se pueden componer a menos que compartan un punto final. De este modo se tiene la fundamental groupoid en lugar del grupo fundamental, y esta construcción es funtorial.

Álgebra de funciones continuas: se da un funtor contravariante de la categoría de espacios topológicos (con mapas continuos como morfismos) a la categoría de álgebras asociativas reales asignando a cada espacio topológico X el álgebra C ( X ) de todas las funciones continuas de valor real en ese espacio. Todo mapa continuo f  : X → Y induce un homomorfismo de álgebra C ( f ): C ( Y ) → C ( X ) por la regla C ( f ) ( φ ) = φ ∘ fpor cada φ en C ( Y ).

Paquetes tangentes y cotangentes: El mapa que envía cada variedad diferenciable a su paquete tangente y cada mapa suave a su derivada es un funtor covariante de la categoría de variedades diferenciables a la categoría de paquetes vectoriales .

Hacer estas construcciones puntualmente le da al espacio tangente , un funtor covariante de la categoría de variedades diferenciables puntiagudas a la categoría de espacios vectoriales reales. Asimismo, el espacio cotangente es un funtor contravariante, esencialmente la composición del espacio tangente con el espacio dual arriba.

Acciones / representaciones de grupo: Cada grupo G pueden ser considerados como una categoría con un solo objeto cuya morfismos son los elementos de G . Un funtor de G a Set no es más que una acción de grupo de G sobre un conjunto particular, es decir, un G -set. Del mismo modo, un funtor de G a la categoría de espacios vectoriales , Vect _K , es una representación lineal de G . En general, un funtor G → C se puede considerar como una "acción" de Gen un objeto en la categoría C . Si C es un grupo, entonces esta acción es un homomorfismo de grupo.

Álgebras de Lie: Asignar a cada grupo de Lie real (complejo) su álgebra de Lie real (compleja) define un funtor.

Productos del tensor: si C denota la categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo, con mapas lineales como morfismos, entonces el producto del tensor define un funtor C × C → C que es covariante en ambos argumentos. ^[7]${\displaystyle V\otimes W}$

Functores olvidadizos: El functor U  : Grp → Conjunto que mapea un grupo a su conjunto subyacente y un homomorfismo de grupo a su función subyacente de conjuntos es un funtor. ^[8] Functores como estos, que "olvidan" alguna estructura, se denominan functores olvidadizos . Otro ejemplo es el functor Rng → Ab que mapea un anillo a su grupo abeliano aditivo subyacente . Los morfismos en Rng ( homomorfismos en anillo ) se convierten en morfismos en Ab (homomorfismos del grupo abeliano).

Functores libres: Ir en la dirección opuesta a los functores olvidadizos son functores libres. El funtor libre F  : Set → Grp envía cada conjunto X al grupo libre generado por X . Las funciones se mapean para agrupar homomorfismos entre grupos libres. Existen construcciones libres para muchas categorías basadas en conjuntos estructurados. Ver objeto libre .

Grupos homomorfismo: Para cada par A , B de los grupos abelianos uno puede asignar el grupo abeliano Hom ( A , B ) que consiste en todos homomorfismo de grupos de A a B . Este es un funtor que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo argumento, es decir, es un funtor Ab ^op × Ab → Ab (donde Ab denota la categoría de grupos abelianos con homomorfismos de grupo). Si f  : A ₁ → A ₂ yg  : B ₁ → B ₂ son morfismos en Ab , entonces el grupo homomorfismo Hom ( f , g ) : Hom ( A ₂ , B ₁ ) → Hom ( A ₁ , B ₂ ) viene dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f . Ver functor de Hom .

Funtores representables: Podemos generalizar el ejemplo anterior para cualquiera de las categorías C . Para cada par X , Y de los objetos en C puede asignar el conjunto Hom ( X , Y ) de morfismos de X a Y . Esto define un functor para Set que es contravariante en el primer argumento y covariante en el segundo, es decir, es un funtor C ^op × C → Set . Si f  : X ₁ → X ₂ y g  : Y₁ → Y ₂ son morfismos en C , luego el mapa Hom ( f , g ): Hom ( X ₂ , Y ₁ ) → Hom ( X ₁ , Y ₂ ) viene dado por φ ↦ g ∘ φ ∘ f .

Los functores como estos se denominan functores representables . Un objetivo importante en muchos entornos es determinar si un funtor dado es representable.

Propiedades

Dos consecuencias importantes de los axiomas del functor son:

• F transforma cada diagrama conmutativo en C en un diagrama conmutativo en D ;
• si f es un isomorfismo en C , entonces F ( f ) es un isomorfismo en D .

Uno puede componer funtores, es decir, si F es un funtor de A a B y G es un funtor de B a C entonces se puede formar el funtor compuesto G ∘ F de A a C . La composición de los functores es asociativa donde se define. La identidad de la composición de los functores es el functor de identidad. Esto muestra que los functores pueden considerarse morfismos en categorías de categorías, por ejemplo, en la categoría de categorías pequeñas .

Una categoría pequeña con un solo objeto es lo mismo que un monoide : los morfismos de una categoría de un objeto pueden considerarse como elementos del monoide, y la composición en la categoría se considera la operación monoide. Los funciones entre categorías de un objeto corresponden a homomorfismos de monoides . Entonces, en cierto sentido, los functores entre categorías arbitrarias son una especie de generalización de homomorfismos monoides a categorías con más de un objeto.

Relación con otros conceptos categóricos

Sean C y D categorías. La colección de todos los functores de C a D forma los objetos de una categoría: la categoría de functores . Los morfismos de esta categoría son transformaciones naturales entre functores.

Los functores se definen a menudo por propiedades universales ; ejemplos son el producto tensorial , la suma directa y el producto directo de grupos o espacios vectoriales, construcción de grupos y módulos libres, límites directos e inversos . Los conceptos de límite y colimit generalizan varios de los anteriores.

Las construcciones universales a menudo dan lugar a pares de functores adjuntos .

Implementaciones informáticas

Artículo principal: Functor (programación funcional)

A veces, los funciones aparecen en la programación funcional . Por ejemplo, el lenguaje de programación Haskell tiene una clase Functor donde fmapes una función politípica usada para mapear funciones ( morfismos en Hask , la categoría de tipos Haskell) ^[9] entre tipos existentes a funciones entre algunos tipos nuevos. ^[10]

Ver también

• Categoría de functor
• Extensión Kan
• Pseudofunctor

Notas

1. Mac Lane, Saunders (1971), Categorías para el matemático que trabaja , Nueva York: Springer-Verlag, p. 30, ISBN 978-3-540-90035-1
2. Carnap, Rudolf (1937). La sintaxis lógica del lenguaje , Routledge & Kegan, págs. 13-14.
3. Jacobson (2009) , p. 19, def. 1.2.
4. Jacobson (2009) , págs. 19-20.
5. Popescu, Nicolae; Popescu, Liliana (1979). Teoría de categorías . Dordrecht: Springer. pag. 12. ISBN 9789400995505. Consultado el 23 de abril de 2016 .
6. Mac Lane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (1992), Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría topos , Springer, ISBN 978-0-387-97710-2
7. Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna ; Gubareni, Nadiya ; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , Springer, ISBN 978-1-4020-2690-4
8. Jacobson (2009) , p. 20, ej. 2.
9. No está del todo claro que los tipos de datos de Haskell realmente formen una categoría. Consulte https://wiki.haskell.org/Hask para obtener más detalles.
10. Consulte https://wiki.haskell.org/Category_theory/Functor#Functors_in_Haskell para obtener más información.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , 2 (2.a ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7.

Enlaces externos

Busque functor en Wiktionary, el diccionario gratuito.

• "Functor" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• ver functor en nLab y las variaciones discutidas y vinculadas allí.
• André Joyal , CatLab , un proyecto wiki dedicado a la exposición de las matemáticas categóricas
• Hillman, Chris. "Una cartilla categórica". CiteSeerX  10.1.1.24.3264 : Introducción formal a la teoría de categorías.
• J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos
• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Teoría de Categorías " - por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
• Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías
• Baez, John, 1996, " The Tale of n -categories " . Una introducción informal a categorías de orden superior.
• WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores, transformaciones naturales , propiedades universales .
• The catsters , un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
• Archivo de videos de charlas grabadas relevantes a categorías, lógica y fundamentos de la física.
• Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.