Transformación activa y pasiva

En geometría analítica , las transformaciones espaciales en el espacio euclidiano tridimensional se distinguen en transformaciones activas o de coartada y transformaciones pasivas o de alias . Una transformación activa ^[1] es una transformación que realmente cambia la posición física (coartada, en otro lugar) de un punto, o cuerpo rígido , que puede definirse en ausencia de un sistema de coordenadas ; mientras que una transformación pasiva ^[2]${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {3}}$es simplemente un cambio en el sistema de coordenadas en el que se describe el objeto (alias, otro nombre) (cambio de mapa de coordenadas, o cambio de base ). Por transformación , los matemáticos generalmente se refieren a transformaciones activas, mientras que los físicos e ingenieros pueden referirse a cualquiera de las dos. Ambos tipos de transformación se pueden representar mediante una combinación de una traslación y una transformación lineal .

Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del mismo objeto en dos sistemas de coordenadas diferentes. ^[3] Por otro lado, una transformación activa es una transformación de uno o más objetos con respecto al mismo sistema de coordenadas. Por ejemplo, las transformaciones activas son útiles para describir posiciones sucesivas de un cuerpo rígido. Por otro lado, las transformaciones pasivas pueden ser útiles en el análisis del movimiento humano para observar el movimiento de la tibia en relación con el fémur , es decir, su movimiento en relación con un sistema de coordenadas ( local ) que se mueve junto con el fémur, en lugar de un ( global) sistema de coordenadas que está fijado al suelo. ^[3]

Como ejemplo, sea el vector , un vector en el plano. Una rotación del vector a través de un ángulo θ en dirección contraria a las manecillas del reloj viene dada por la matriz de rotación :${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\en \mathbb {R} ^{2}}$

En general, una transformación espacial puede consistir en una traslación y una transformación lineal. A continuación, se omitirá la traslación y la transformación lineal se representará mediante una matriz de 3×3 .${\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$${\ estilo de visualización T}$

En la transformación activa (izquierda), un punto se mueve de la posición P a P' girando en el sentido de las agujas del reloj un ángulo θ alrededor del origen del sistema de coordenadas. En la transformación pasiva (derecha), el punto P no se mueve, mientras que el sistema de coordenadas gira en sentido antihorario un ángulo θ alrededor de su origen. Las coordenadas de P' en el caso activo (es decir, relativas al sistema de coordenadas original) son las mismas que las coordenadas de P relativas al sistema de coordenadas girado.

Rotación considerada como una transformación pasiva ( alias ) o activa ( alibi )

Traducción y rotación como transformaciones pasivas ( alias ) o activas ( alibi )