Método implícito de dirección alterna

En álgebra lineal numérica , el método implícito de dirección alterna (ADI) es un método iterativo que se utiliza para resolver las ecuaciones matriciales de Sylvester . Es un método popular para resolver las grandes ecuaciones matriciales que surgen en la teoría y el control de sistemas , ^[1] y se puede formular para construir soluciones en una forma factorizada y eficiente en memoria. ^{[2] [3]} También se utiliza para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y elípticas , y es un método clásico utilizado para modelar la conducción de calor y resolver la ecuación de difusión.en dos o más dimensiones. ^[4] Es un ejemplo de un método de división de operadores . ^[5]

El método ADI es un proceso de iteración de dos pasos que actualiza alternativamente los espacios de columna y fila de una solución aproximada a . Una iteración de ADI consta de los siguientes pasos: ^[6]${\ Displaystyle AX-XB = C}$

1. Resolver para , donde${\ Displaystyle X ^ {(j + 1/2)}}$${\ Displaystyle \ left (A- \ beta _ {j + 1} I \ right) X ^ {(j + 1/2)} = X ^ {(j)} \ left (B- \ beta _ {j + 1} I \ derecha) + C.}$

2. Resolver para , dónde .${\ Displaystyle X ^ {(j + 1)}}$${\ Displaystyle X ^ {(j + 1)} \ left (B- \ alpha _ {j + 1} I \ right) = \ left (A- \ alpha _ {j + 1} I \ right) X ^ { (j + 1/2)} - C}$

Figura de plantilla para el método implícito de dirección alterna en ecuaciones en diferencias finitas