En matemáticas , en el campo de la teoría de control , una ecuación de Sylvester es una ecuación matricial de la forma: [1]
Luego, dadas las matrices A , B y C , el problema es encontrar las posibles matrices X que obedezcan a esta ecuación. Se supone que todas las matrices tienen coeficientes en los números complejos . Para que la ecuación tenga sentido, las matrices deben tener tamaños apropiados, por ejemplo, todas podrían ser matrices cuadradas del mismo tamaño. Pero más generalmente, A y B deben ser matrices cuadradas de tamaños n y m , respectivamente, y luego X y C Ambos tienen n filas y m columnas.
Una ecuación de Sylvester tiene una solución única para X exactamente cuando no hay valores propios comunes de A y - B . De manera más general, la ecuación AX + XB = C se ha considerado como una ecuación de operadores acotados en un espacio de Banach (posiblemente de dimensión infinita) . En este caso, la condición para la unicidad de una solución X es casi la misma: existe una solución única X exactamente cuando los espectros de A y - B son disjuntos . [2]
Existencia y singularidad de las soluciones
Uso de la notación del producto Kronecker y el operador de vectorización , podemos reescribir la ecuación de Sylvester en la forma
dónde es de dimensión , es de dimensión , de dimensión y es el matriz de identidad . De esta forma, la ecuación puede verse como un sistema lineal de dimensión. [3]
Teorema. Matrices dadas y , la ecuación de Sylvester tiene una solución única para cualquier si y solo si y no comparten ningún valor propio.
Prueba. La ecuacion es un sistema lineal con incógnitas y la misma cantidad de ecuaciones. Por lo tanto, se puede resolver de forma única para cualquier si y solo si la ecuación homogénea admite solo la solución trivial .
(yo asumo eso y no comparten ningún valor propio. Dejarser una solución a la ecuación homogénea antes mencionada. Luego, que puede elevarse a para cada por inducción matemática. Como consecuencia, para cualquier polinomio . En particular, dejemos ser el polinomio característico de . Luegodebido al teorema de Cayley-Hamilton ; mientras tanto, el teorema de mapeo espectral nos dice dónde denota el espectro de una matriz. Desde y no comparten ningún valor propio, no contiene cero, y por lo tanto no es singular. Por lo tantocomo se desee. Esto prueba la parte "si" del teorema.
(ii) Ahora suponga que y compartir un valor propio . Dejar ser un vector propio derecho correspondiente para , ser un vector propio izquierdo correspondiente para , y . Luego, y Por eso es una solución no trivial a la ecuación homogénea antes mencionada, que justifica la parte "sólo si" del teorema. QED
Como alternativa al teorema del mapeo espectral , la no singularidad deen la parte (i) de la demostración también se puede demostrar mediante la identidad de Bézout para polinomios coprimos. Dejar ser el polinomio característico de . Desde y no comparten ningún valor propio, y son coprime. Por tanto existen polinomios y tal que . Según el teorema de Cayley-Hamilton ,. Por lo tanto, lo que implica que es noigular.
El teorema sigue siendo válido para las matrices reales con la salvedad de que se consideran sus valores propios complejos. La prueba de la parte "si" sigue siendo aplicable; para la parte "solo si", tenga en cuenta que tanto y satisfacer la ecuación homogénea y no pueden ser cero simultáneamente.
Regla de eliminación de Roth
Dados dos matrices complejas cuadrados A y B , de tamaño n y m , y una matriz C de tamaño n por m , a continuación, uno puede preguntarse cuando las siguientes dos matrices cuadradas de tamaño n + m son similares entre sí: y . La respuesta es que estos dos matrices son similares exactamente cuando existe una matriz X tal que AX - XB = C . En otras palabras, X es una solución a una ecuación de Sylvester. Esto se conoce como la regla de eliminación de Roth . [4]
Uno comprueba fácilmente una dirección: si AX - XB = C entonces
La regla de eliminación de Roth no se generaliza a operadores acotados de dimensión infinita en un espacio de Banach. [5]
Soluciones numéricas
Un algoritmo clásico para la solución numérica de la ecuación de Sylvester es el algoritmo de Bartels-Stewart , que consiste en transformar y en forma de Schur mediante un algoritmo QR , y luego resolviendo el sistema triangular resultante mediante sustitución hacia atrás . Este algoritmo, cuyo costo computacional esoperaciones aritméticas, [ cita requerida ] se usa, entre otros, por LAPACK y la lyap
función en GNU Octave . [6] Consulte también la sylvester
función en ese idioma. [7] [8] En alguna aplicación de procesamiento de imágenes específica, la ecuación de Sylvester derivada tiene una solución de forma cerrada. [9]
Ver también
Notas
- ^ Esta ecuación también se escribe comúnmente en la forma equivalente de AX - XB = C .
- ^ Bhatia y Rosenthal, 1997
- ^ Sin embargo, no se recomienda reescribir la ecuación en esta forma para la solución numérica ya que esta versión es costosa de resolver y puede estar mal condicionada .
- ^ Gerrish, F; Ward, AGB (noviembre de 1998). "Ecuación de la matriz de Sylvester y regla de eliminación de Roth". La Gaceta Matemática . 82 (495): 423–430. doi : 10.2307 / 3619888 . JSTOR 3619888 .
- ↑ Bhatia y Rosenthal, p.3
- ^ "Referencia de función: Lyap" .
- ^ "Funciones de una matriz (GNU Octave (versión 4.4.1))" .
- ^ El
syl
comando está obsoleto desde GNU Octave Versión 4.0 - ^ Wei, Q .; Dobigeon, N .; Tourneret, J.-Y. (2015). "Fusión rápida de imágenes multibanda basadas en la resolución de una ecuación de Sylvester". IEEE . 24 (11): 4109–4121. arXiv : 1502.03121 . Código Bibliográfico : 2015ITIP ... 24.4109W . doi : 10.1109 / TIP.2015.2458572 . PMID 26208345 .
Referencias
- Sylvester, J. (1884). "Sur l'equations en matrices". CR Acad. Sci. Paris . 99 (2): 67-71, 115-116.
- Bartels, RH; Stewart, GW (1972). "Solución de la ecuación matricial". Comm. ACM . 15 (9): 820–826. Doi : 10.1145 / 361573.361582 .
- Bhatia, R .; Rosenthal, P. (1997). "Cómo y por qué resolver la ecuación del operador ? ". Bull. London Math. Soc. 29 (1): 1–21. Doi : 10.1112 / S0024609396001828 .
- Lee, S.-G .; Vu, Q.-P. (2011). "Soluciones simultáneas de ecuaciones de Sylvester y matrices idempotentes que separan el espectro conjunto" . Aplicación de álgebra lineal 435 (9): 2097–2109. doi : 10.1016 / j.laa.2010.09.034 .
- Wei, Q .; Dobigeon, N .; Tourneret, J.-Y. (2015). "Fusión rápida de imágenes multibanda basadas en la resolución de una ecuación de Sylvester". Transacciones IEEE sobre procesamiento de imágenes . 24 (11): 4109–4121. arXiv : 1502.03121 . Código bibliográfico : 2015ITIP ... 24.4109W . doi : 10.1109 / TIP.2015.2458572 . PMID 26208345 .
- Birkhoff y MacLane. Una encuesta de álgebra moderna . Macmillan. págs. 213, 299.
enlaces externos
- Solucionador en línea para matrices de tamaño arbitrario. [ enlace muerto ]
- Función de Mathematica para resolver la ecuación de Sylvester
- Función MATLAB para resolver la ecuación de Sylvester