Las ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden (PDE) se clasifican como elípticas , hiperbólicas o parabólicas . Cualquier PDE lineal de segundo orden en dos variables se puede escribir en la forma
donde A , B , C , D , E , F , y G son funciones de x y y y donde, y de manera similar para . Un PDE escrito en esta forma es elíptico si
con esta convención de nomenclatura inspirada en la ecuación de una elipse plana .
Los ejemplos no triviales más simples de PDE elípticas son la ecuación de Laplace ,, y la ecuación de Poisson , En cierto sentido, cualquier otra PDE elíptica en dos variables puede considerarse una generalización de una de estas ecuaciones, ya que siempre se puede poner en la forma canónica.
mediante un cambio de variables. [1] [2]
Las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales , curvas a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos una segunda derivada dede las condiciones del problema de Cauchy . [1] Dado que las curvas características son las únicas curvas a lo largo de las cuales las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales con parámetros suaves pueden tener derivadas discontinuas, las soluciones de ecuaciones elípticas no pueden tener derivadas discontinuas en ninguna parte. Esto significa que las ecuaciones elípticas son adecuadas para describir estados de equilibrio, donde las discontinuidades ya se han suavizado. Por ejemplo, podemos obtener la ecuación de Laplace a partir de la ecuación de calor configurando . Esto significa que la ecuación de Laplace describe un estado estable de la ecuación del calor. [2]
En las ecuaciones parabólicas e hiperbólicas, las características describen líneas a lo largo de las cuales viaja la información sobre los datos iniciales. Dado que las ecuaciones elípticas no tienen curvas características reales, no existe un sentido significativo de propagación de información para las ecuaciones elípticas. Esto hace que las ecuaciones elípticas sean más adecuadas para describir procesos estáticos que dinámicos. [2]
Derivamos la forma canónica para ecuaciones elípticas en dos variables, .
- y .
Si , aplicando la regla de la cadena una vez da
- y ,
una segunda aplicación da
- y
Podemos reemplazar nuestra PDE en xey con una ecuación equivalente en y
dónde
- y
Para transformar nuestro PDE en la forma canónica deseada, buscamos y tal que y . Esto nos da el sistema de ecuaciones.
Añadiendo multiplica la segunda ecuación a la primera y el ajuste da la ecuación cuadrática
Dado que el discriminante , esta ecuación tiene dos soluciones distintas,
que son conjugados complejos. Al elegir cualquiera de las soluciones, podemos resolvery recuperar y con las transformaciones y . Desde y satisfará y , así que con un cambio de variables de xey a y transformará el PDE
en la forma canónica
como se desee.
Una ecuación diferencial parcial general de segundo orden en n variables toma la forma
Esta ecuación se considera elíptica si no hay superficies características, es decir, superficies a lo largo de las cuales no es posible eliminar al menos una segunda derivada de u de las condiciones del problema de Cauchy . [1]
A diferencia del caso bidimensional, esta ecuación en general no se puede reducir a una forma canónica simple. [2]