Paridad de una permutación
En matemáticas , cuando X es un conjunto finito con al menos dos elementos, las permutaciones de X (es decir, las funciones biyectivas de X a X ) se dividen en dos clases de igual tamaño: las permutaciones pares y las permutaciones impares . Si se fija cualquier orden total de X , la paridad ( impar o impar ) de una permutación de X se puede definir como la paridad del número de inversiones para σ, es decir, de pares de elementos x , y de X tales que x < y y σ ( x ) > σ ( y ) .
El signo , firma o signum de una permutación σ se denota como sgn( σ ) y se define como +1 si σ es par y −1 si σ es impar. La firma define el carácter alterno del grupo simétrico S n . Otra notación para el signo de una permutación viene dada por el símbolo más general de Levi-Civita ( ε σ ), que se define para todos los mapas de X a X , y tiene valor cero para mapas no biyectivos .
Alternativamente, el signo de una permutación σ se puede definir a partir de su descomposición en el producto de transposiciones como
donde m es el número de transposiciones en la descomposición. Aunque tal descomposición no es única, la paridad del número de transposiciones en todas las descomposiciones es la misma, lo que implica que el signo de una permutación está bien definido . [1]
Considere la permutación σ del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definido por y En notación de una línea , esta permutación se denota 34521. Se puede obtener de la permutación de identidad 12345 mediante tres transposiciones: primero intercambie los números 2 y 4, luego intercambian 3 y 5, y finalmente intercambian 1 y 3. Esto muestra que la permutación dada σ es impar. Siguiendo el método del artículo de notación cíclica , esto podría escribirse, componiendo de izquierda a derecha, como
La permutación de identidad es una permutación par. [1] Una permutación par se puede obtener como la composición de un número par y solo un número par de intercambios (llamados transposiciones ) de dos elementos, mientras que una permutación impar se puede obtener (solo) con un número impar de transposiciones.
