Grupo de permutación

Grupo cuya operación es composición de permutaciones

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
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Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL (2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , un grupo de permutación es un grupo G cuyos elementos son permutaciones de un conjunto M dado y cuya operación de grupo es la composición de permutaciones en G (que se consideran funciones biyectivas del conjunto M a sí mismo). El grupo de todas las permutaciones de un conjunto M es el grupo simétrico de M , a menudo escrito como Sym ( M ). ^[1] El término grupo de permutación significa un subgrupodel grupo simétrico. Si M = {1, 2, ..., n } entonces Sym ( M ) generalmente se denota por S _n , y puede llamarse grupo simétrico de n letras .

Según el teorema de Cayley , cada grupo es isomórfico a algún grupo de permutación.

La forma en que los elementos de un grupo de permutación permutan los elementos del conjunto se denomina acción de grupo . Las acciones grupales tienen aplicaciones en el estudio de las simetrías , la combinatoria y muchas otras ramas de las matemáticas , la física y la química.

El popular rompecabezas del cubo de Rubik, inventado en 1974 por Ernő Rubik, se ha utilizado como ilustración de los grupos de permutación. Cada rotación de una capa del cubo da como resultado una permutación de los colores de la superficie y es un miembro del grupo. El grupo de permutación del cubo se llama grupo de cubo de Rubik .

Propiedades básicas y terminología

Al ser un subgrupo de un grupo simétrico, todo lo que se necesita para que un conjunto de permutaciones satisfaga los axiomas del grupo y sea un grupo de permutación es que contenga la permutación de identidad, la permutación inversa de cada permutación que contiene, y se cierre bajo la composición de sus permutaciones. ^[2] Una propiedad general de los grupos finitos implica que un subconjunto finito no vacío de un grupo simétrico es nuevamente un grupo si y solo si está cerrado bajo la operación de grupo. ^[3]

El grado de un grupo de permutaciones de un conjunto finito es el número de elementos del conjunto. El orden de un grupo (de cualquier tipo) es el número de elementos (cardinalidad) en el grupo. Según el teorema de Lagrange , el orden de cualquier grupo de permutación finito de grado n debe dividir n ! ya que n - factorial es el orden del grupo simétrico S _n .

Notación

Artículo principal: Permutación § Notaciones

Desde permutaciones son biyecciones de un conjunto, pueden ser representados por Cauchy 's de la notación de dos líneas . ^[4] Esta notación enumera cada uno de los elementos de M en la primera fila, y para cada elemento, su imagen bajo la permutación debajo de él en la segunda fila. Si es una permutación del conjunto , entonces,${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle M=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\\sigma (x_{1})&\sigma (x_{2})&\sigma (x_{3})&\cdots &\sigma (x_{n})\end{pmatrix}}.}$

Por ejemplo, una permutación particular del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} se puede escribir como

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}};}$

esto significa que σ satisface σ (1) = 2, σ (2) = 5, σ (3) = 4, σ (4) = 3 y σ (5) = 1. Los elementos de M no necesitan aparecer en ningún orden especial en la primera fila, por lo que la misma permutación también podría escribirse como

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}3&2&5&1&4\\4&5&1&2&3\end{pmatrix}}.}$

Las permutaciones también se escriben a menudo en notación cíclica ( forma cíclica ) ^{[5] de} modo que dado el conjunto M = {1, 2, 3, 4}, una permutación g de M con g (1) = 2, g (2) = 4, g (4) = 1 y g (3) = 3 se escribirán como (1, 2, 4) (3), o más comúnmente, (1, 2, 4) ya que 3 se deja sin cambios; si los objetos se denotan con letras simples o dígitos, también se pueden prescindir de las comas y los espacios, y tenemos una notación como (124). La permutación escrita arriba en notación de 2 líneas se escribiría en notación cíclica como${\displaystyle \sigma =(125)(34).}$

Composición de permutaciones: el producto del grupo

El producto de dos permutaciones se define como su composición como funciones, por lo que es la función que asigna cualquier elemento x del conjunto a . Tenga en cuenta que la permutación más a la derecha se aplica primero al argumento, debido a la forma en que se escribe la composición de la función. ^{[6] [7]} Algunos autores prefieren que el factor más a la izquierda actúe primero, pero para ese fin las permutaciones deben escribirse a la derecha de su argumento, a menudo como un superíndice , por lo que la permutación que actúa sobre el elemento da como resultado la imagen . Con esta convención, el producto viene dado por . ^{[8] [9] [10]} Sin embargo, esto da una${\displaystyle \sigma \cdot \pi }$${\displaystyle \sigma (\pi (x))}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\sigma }}$${\displaystyle x^{\sigma \cdot \pi }=(x^{\sigma })^{\pi }}$regla diferente para multiplicar permutaciones. Esta convención se usa comúnmente en la literatura de grupos de permutación, pero este artículo usa la convención donde se aplica primero la permutación más a la derecha.

Dado que la composición de dos biyecciones siempre da otra biyección, el producto de dos permutaciones es nuevamente una permutación. En notación de dos líneas, el producto de dos permutaciones se obtiene reordenando las columnas de la segunda permutación (más a la izquierda) de modo que su primera fila sea idéntica a la segunda fila de la primera permutación (más a la derecha). A continuación, el producto se puede escribir como la primera fila de la primera permutación sobre la segunda fila de la segunda permutación modificada. Por ejemplo, dadas las permutaciones,

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}\quad {\text{ and }}\quad Q={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}},}$

el producto QP es:

${\displaystyle QP={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&4&3&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&4&1&3&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&3&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\4&2&5&3&1\end{pmatrix}}.}$

La composición de las permutaciones, cuando se escriben en forma cíclica, se obtiene yuxtaponiendo las dos permutaciones (con la segunda escrita a la izquierda) y luego simplificando a una forma de ciclo disjunto si se desea. Así, en notación cíclica el producto anterior estaría dado por:

${\displaystyle Q\cdot P=(15)(24)\cdot (1243)=(1435).}$

Desde la composición de funciones es asociativa , así que es la operación producto en permutaciones: . Por lo tanto, los productos de dos o más permutaciones generalmente se escriben sin agregar paréntesis para expresar la agrupación; también suelen escribirse sin un punto u otro signo para indicar la multiplicación (los puntos del ejemplo anterior se agregaron para enfatizar, por lo que simplemente se escribirían como ).${\displaystyle (\sigma \cdot \pi )\cdot \rho =\sigma \cdot (\pi \cdot \rho )}$${\displaystyle \sigma \pi \rho }$

Elemento neutro e inversos

La permutación de identidad, que mapea cada elemento del conjunto a sí mismo, es el elemento neutral para este producto. En notación de dos líneas, la identidad es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\1&2&3&\cdots &n\end{pmatrix}}.}$

En notación cíclica, e = (1) (2) (3) ... ( n ) que por convención también se denota por solo (1) o par (). ^[11]

Dado que las biyecciones tienen inversas , también las tienen las permutaciones, y la inversa σ ⁻¹ de σ es nuevamente una permutación. Explícitamente, siempre que σ ( x ) = y uno también tiene σ ⁻¹ ( y ) = x . En la notación de dos líneas, la inversa se puede obtener intercambiando las dos líneas (y ordenando las columnas si se desea que la primera línea esté en un orden determinado). Por ejemplo

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}2&5&4&3&1\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\5&1&4&3&2\end{pmatrix}}.}$

Para obtener la inversa de un solo ciclo, invertimos el orden de sus elementos. Por lo tanto,

${\displaystyle (125)^{-1}=(521)=(152).}$

Para obtener el inverso de un producto de ciclos, primero invertimos el orden de los ciclos y luego tomamos el inverso de cada uno como se indicó anteriormente. Por lo tanto,

${\displaystyle [(125)(34)]^{-1}=(34)^{-1}(125)^{-1}=(43)(521)=(34)(152).}$

Tener un producto asociativo, un elemento de identidad e inversos para todos sus elementos, convierte el conjunto de todas las permutaciones de M en un grupo , Sym ( M ); un grupo de permutación.

Ejemplos de

Considere el siguiente conjunto G ₁ de permutaciones del conjunto M = {1, 2, 3, 4}:

• e = (1) (2) (3) (4) = (1)
  • Ésta es la identidad, la permutación trivial que fija cada elemento.
• a = (1 2) (3) (4) = (1 2)
  • Esta permutación intercambia 1 y 2, y fija 3 y 4.
• b = (1) (2) (3 4) = (3 4)
  • Como el anterior, pero intercambiando 3 y 4, y arreglando los demás.
• ab = (1 2) (3 4)
  • Esta permutación, que es la composición de las dos anteriores, intercambia simultáneamente 1 con 2 y 3 con 4.

G ₁ forma un grupo, ya que aa = bb = e , ba = ab y abab = e . Este grupo de permutación es isomórfico , como grupo abstracto, al grupo de Klein V ₄ .

Como otro ejemplo, considere el grupo de simetrías de un cuadrado. Deje que los vértices de un cuadrado se etiqueten como 1, 2, 3 y 4 (en sentido antihorario alrededor del cuadrado comenzando con 1 en la esquina superior izquierda). Las simetrías están determinadas por las imágenes de los vértices, que pueden, a su vez, describirse mediante permutaciones. La rotación de 90 ° (en sentido antihorario) alrededor del centro del cuadrado se describe mediante la permutación (1234). Las rotaciones de 180 ° y 270 ° vienen dadas por (13) (24) y (1432), respectivamente. La reflexión sobre la línea horizontal que pasa por el centro viene dada por (12) (34) y la reflexión de la línea vertical correspondiente es (14) (23). La reflexión sobre la línea diagonal 1,3 es (24) y la reflexión sobre la diagonal 2,4 es (13). La única simetría restante es la identidad (1) (2) (3) (4). Este grupo de permutación se conoce de manera abstracta como el grupo diedro de orden 8.

Acciones grupales

Artículo principal: Acción grupal (matemáticas)

En el ejemplo anterior del grupo de simetría de un cuadrado, las permutaciones "describen" el movimiento de los vértices del cuadrado inducido por el grupo de simetrías. Es común decir que estos elementos de grupo están "actuando" sobre el conjunto de vértices del cuadrado. Esta idea se puede precisar definiendo formalmente una acción de grupo . ^[12]

Sea G un grupo y M un conjunto no vacío . Una acción de G sobre M es una función f : G × M → M tal que

• f (1, x ) = x , para todo x en M (1 es el elemento identidad (neutral) del grupo G ), y
• f ( g , f ( h , x )) = f ( gh , x ), para todos g , h en G y todo x en M .

Esta última condición también se puede expresar diciendo que la acción induce un homomorfismo de grupo de G a Sym ( M ). ^[12] Cualquiera de tales homomorfismo se llama un (permutación) la representación de G en M .

Para cualquier grupo de la permutación, la acción que envía ( g , x ) → g ( x ) se llama la acción natural de G en M . Esta es la acción que se asume a menos que se indique lo contrario. ^[12] En el ejemplo del grupo de simetría del cuadrado, la acción del grupo sobre el conjunto de vértices es la acción natural. Sin embargo, este grupo también induce una acción sobre el conjunto de cuatro triángulos del cuadrado, que son: t ₁ = 234, t ₂ = 134, t ₃ = 124 y t ₄ = 123. También actúa sobre las dos diagonales: d₁ = 13 yd ₂ = 24.

Elemento de grupo	Acción sobre triángulos	Acción sobre diagonales
(1)	(1)	(1)
(1234)	( t 1 t 2 t 3 t 4 )	( d 1 d 2 )
(13) (24)	( t 1 t 3 ) ( t 2 t 4 )	(1)
(1432)	( t 1 t 4 t 3 t 2 )	( d 1 d 2 )
(12) (34)	( t 1 t 2 ) ( t 3 t 4 )	( d 1 d 2 )
(14) (23)	( t 1 t 4 ) ( t 2 t 3 )	( d 1 d 2 )
(13)	( t 1 t 3 )	(1)
(24)	( t 2 t 4 )	(1)

Acciones transitivas

Se dice que la acción de un grupo G sobre un conjunto M es transitiva si, por cada dos elementos s , t de M , hay algún elemento de grupo g tal que g ( s ) = t . De manera equivalente, el conjunto M forma una sola órbita bajo la acción de G . ^[13] De los ejemplos anteriores , el grupo {e, (1 2), (3 4), (1 2) (3 4)} de permutaciones de {1, 2, 3, 4} no es transitivo (ningún grupo elemento toma 1 a 3) pero el grupo de simetrías de un cuadrado es transitivo en los vértices.

Acciones primitivas

Artículo principal: grupo de permutación primitiva

Un grupo de permutación G que actúa de forma transitiva sobre un conjunto finito no vacío M es imprimitivo si hay alguna partición de conjunto no trivial de M que se conserva mediante la acción de G , donde "no trivial" significa que la partición no es la partición en conjuntos singleton. ni la partición con una sola parte. De lo contrario, si G es transitivo pero no conserva ninguna partición no trivial de M , el grupo G es primitivo .

Por ejemplo, el grupo de simetrías de un cuadrado es primitivo en los vértices: si están numerados 1, 2, 3, 4 en orden cíclico, entonces la partición {{1, 3}, {2, 4}} en pares opuestos es preservado por cada elemento del grupo. Por otro lado, el grupo simétrico completo en un conjunto M siempre es imprimitivo.

Teorema de Cayley

Artículo principal: teorema de Cayley

Cualquier grupo G puede actuar sobre sí mismo (los elementos del grupo se consideran el conjunto M ) de muchas formas. En particular, hay una acción regular dada por la multiplicación (izquierda) en el grupo. Es decir, f ( g , x ) = gx para todos g y x en G . Para cada fijo g , la función f _g ( x ) = gx es una biyección en G y por lo tanto una permutación del conjunto de elementos de G . Cada elemento de Gpuede pensarse como una permutación de esta manera, por lo que G es isomorfo a un grupo de permutación; este es el contenido del teorema de Cayley .

Por ejemplo, considere el grupo G ₁ actuando sobre el conjunto {1, 2, 3, 4} dado anteriormente. Deje que los elementos de este grupo se denota por e , un , b y c = ab = ba . La acción de G ₁ sobre sí misma descrita en el teorema de Cayley da la siguiente representación de permutación:

f _e ↦ ( e ) ( a ) ( b ) ( c )

f _a ↦ ( ea ) ( bc )

f _b ↦ ( eb ) ( ac )

f _c ↦ ( ec ) ( ab ).

Isomorfismos de grupos de permutación

Si G y H son dos grupos de permutación en los conjuntos X e Y con acciones f ₁ y f ₂ respectivamente, entonces decimos que G y H son permutación isomorfa (o isomorfa como grupos de permutación ) si existe un mapa biyectivo λ  : X → Y y un isomorfismo de grupo ψ  : G → H tal que

λ ( f ₁ ( g , x )) = f ₂ ( ψ ( g ), λ ( x )) para todo g en G y x en X . ^[14]

Si X = Y esto equivale a que G y H se conjugan como subgrupos de Sym ( X ). ^[15] El caso especial donde G = H y ψ es el mapa de identidad da lugar al concepto de acciones equivalentes de un grupo. ^[dieciséis]

En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado dado arriba, la acción natural sobre el conjunto {1,2,3,4} es equivalente a la acción sobre los triángulos. La biyección λ entre los conjuntos viene dada por i ↦ t _i . La acción natural del grupo G ₁ anterior y su acción sobre sí mismo (a través de la multiplicación por la izquierda) no son equivalentes ya que la acción natural tiene puntos fijos y la segunda acción no.

Grupos oligomórficos

Cuando un grupo G actúa sobre un conjunto S , la acción puede extenderse naturalmente al producto cartesiano S ⁿ de S , que consta de n -tuplas de elementos de S : la acción de un elemento g sobre la n -tupla ( s ₁ , ..., s _n ) viene dado por

g ( s ₁ , ..., s _n ) = ( g ( s ₁ ), ..., g ( s _n )).

Se dice que el grupo G es oligomórfico si la acción sobre S ⁿ tiene sólo un número finito de órbitas para cada entero positivo n . ^{[17] [18]} (Esto es automático si S es finito, por lo que el término suele ser de interés cuando S es infinito).

El interés por los grupos oligomórficos se basa en parte en su aplicación a la teoría de modelos , por ejemplo, cuando se consideran automorfismos en teorías categóricas contables . ^[19]

Historia

Artículo principal: Historia de la teoría de grupos.

El estudio de grupos surgió originalmente de la comprensión de los grupos de permutación. ^{[20] Las} permutaciones habían sido estudiadas intensamente por Lagrange en 1770 en su trabajo sobre las soluciones algebraicas de ecuaciones polinómicas. Este tema floreció y, a mediados del siglo XIX, existía una teoría bien desarrollada de los grupos de permutación, codificada por Camille Jordan en su libro Traité des Substitutions et des Équations Algébriques de 1870. El libro de Jordan, a su vez, se basó en los artículos que se dejaron por Évariste Galois en 1832.

Cuando Cayley introdujo el concepto de grupo abstracto, no quedó claro de inmediato si se trataba de una colección de objetos más grande que los grupos de permutación conocidos (que tenían una definición diferente de la moderna). Cayley pasó a demostrar que los dos conceptos eran equivalentes en el teorema de Cayley. ^[21]

Otro texto clásico que contiene varios capítulos sobre grupos de permutación es la Teoría de grupos de orden finito de Burnside de 1911. ^[22] La primera mitad del siglo XX fue un período de barbecho en el estudio de la teoría de grupos en general, pero interés en los grupos de permutación. fue revivido en la década de 1950 por H. Wielandt, cuyas notas de conferencias en alemán se reimprimieron como Grupos de permutación finita en 1964. ^[23]

Ver también

• 2-grupo transitivo
• Grupo de permutación de rango 3
• Grupo de Mathieu

Notas

1. También se utilizan lasnotaciones S _M y S ^M.
2. Rotman , 2006 , p. 148, Definición de subgrupo
3. Rotman , 2006 , p. 149, Proposición 2.69
4. Wussing, Hans (2007), La génesis del concepto de grupo abstracto: una contribución a la historia del origen de la teoría de grupo abstracto , Publicaciones de Courier Dover, p. 94, ISBN 9780486458687, Cauchy utilizó su permutación notación en la que los arreglos se escriben uno debajo del otro y ambos están encerrados entre paréntesis, por primera vez en 1815.
5. especialmente cuando las propiedades algebraicas de la permutación son de interés.
6. Biggs, Norman L .; White, AT (1979). Grupos de permutación y estructuras combinatorias . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-22287-7.
7. Rotman , 2006 , p. 107 - nótese especialmente la nota a pie de página de esta página.
8. Dixon y Mortimer 1996 , p. 3 - ver el comentario que sigue al ejemplo 1.2.2
9. Cameron, Peter J. (1999). Grupos de permutación . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-65302-9.
10. Jerrum, M. (1986). "Una representación compacta de grupos de permutación". J. Algoritmos . 7 (1): 60–78. doi : 10.1016 / 0196-6774 (86) 90038-6 .
11. Rotman , 2006 , p. 108
12. Dixon y Mortimer , 1996 , p. 5
13. Artin 1991 , p. 177
14. Dixon y Mortimer 1996 , p. 17
15. Dixon y Mortimer 1996 , p. 18
16. Cameron 1994 , p. 228
17. Cameron, Peter J. (1990). Grupos de permutación oligomórfica . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 152 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-38836-8. Zbl  0813.20002 .
18. Grupos de permutación oligomórfica - preimpresión del Instituto Isaac Newton, Peter J. Cameron
19. Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G .; Neumann, Peter M. (1998). Notas sobre grupos de permutación infinitos . Apuntes de clase en matemáticas. 1698 . Berlín: Springer-Verlag . pag. 83. ISBN 3-540-64965-4. Zbl  0916.20002 .
20. Dixon y Mortimer 1996 , p. 28
21. Cameron 1994 , p. 226
22. Burnside, William (1955) [1911], Teoría de grupos de orden finito (2ª ed.), Dover
23. Wielandt, H. (1964), Grupos de permutación finita , Prensa académica

Referencias

• Artin, Michael (1991), Álgebra , Prentice-Hall, ISBN 0-13-004763-5
• Cameron, Peter J. (1994), Combinatoria: temas, técnicas, algoritmos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-45761-0
• Dixon, John D .; Mortimer, Brian (1996), Grupos de Permutación , Textos de Posgrado en Matemáticas 163), Springer-Verlag, ISBN 0-387-94599-7
• Rotman, Joseph J. (2006), Un primer curso de álgebra abstracta con aplicaciones (3a ed.), Pearson Prentice-Hall, ISBN 0-13-186267-7

Otras lecturas

• Akos Seress. Algoritmos de grupo de permutación . Cambridge Tracts in Mathematics, 152. Cambridge University Press, Cambridge, 2003.
• Meenaxi Bhattacharjee, Dugald Macpherson, Rögnvaldur G. Möller y Peter M. Neumann. Notas sobre grupos de permutación infinita . Número 1698 en Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, 1998.
• Peter J. Cameron . Grupos de permutación . LMS Student Text 45. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.
• Peter J. Cameron. Grupos de permutación oligomórfica . Cambridge University Press, Cambridge, 1990.

enlaces externos

• "Grupo de permutación" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Alexander Hulpke. Biblioteca de datos GAP "Grupos de permutación transitiva" .