Matriz de signos alternos

No confundir con Alternant Matrix .

${\displaystyle {\begin{matrix}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\1&-1&1\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\end{matrix}}}$

Las siete matrices de signos alternos de tamaño 3

En matemáticas , una matriz de signo alterno es una matriz cuadrada de 0, 1 y -1, de modo que la suma de cada fila y columna es 1 y las entradas distintas de cero en cada fila y columna se alternan en signo. Estas matrices generalizan las matrices de permutación y surgen naturalmente cuando se usa la condensación de Dodgson para calcular un determinante. ^{[ cita requerida ]} También están estrechamente relacionados con el modelo de seis vértices con las condiciones de frontera de la pared de dominio de la mecánica estadística . Fueron definidos por primera vez por William Mills, David Robbins y Howard Rumsey en el contexto anterior.

Ejemplo

Un ejemplo de una matriz de signo alterno (que no es también una matriz de permutación) es

Imagen de rompecabezas

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&-1&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.}$

Teorema de matriz de signo alterno

El teorema de la matriz de signo alterno establece que el número de matrices de signo alterno es${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {(3k+1)!}{(n+k)!}}={\frac {1!\,4!\,7!\cdots (3n-2)!}{n!\,(n+1)!\cdots (2n-1)!}}.}$

Los primeros términos de esta secuencia para n = 0, 1, 2, 3,… son

1, 1, 2, 7, 42, 429, 7436, 218348,… (secuencia A005130 en la OEIS ).

Este teorema fue probado por primera vez por Doron Zeilberger en 1992. ^[1] En 1995, Greg Kuperberg dio una breve demostración ^[2] basada en la ecuación de Yang-Baxter para el modelo de seis vértices con condiciones de frontera de dominio-pared, que usa un determinante cálculo debido a Anatoli Izergin. ^[3] Ilse Fischer dio una tercera prueba usando lo que se llama el método del operador . ^[4]

Problema de Razumov-Stroganov

En 2001, A. Razumov e Y. Stroganov conjeturaron una conexión entre el modelo de bucle O (1), el modelo de bucle totalmente empaquetado (FPL) y los ASM. ^[5] Esta conjetura fue probada en 2010 por Cantini y Sportiello. ^[6]

Referencias

1. Zeilberger, Doron, "Prueba de la conjetura de la matriz de signo alterno" , Electronic Journal of Combinatorics 3 (1996), R13.
2. Kuperberg, Greg , "Otra prueba de la conjetura de la matriz de signo alterno" , Notas de investigación de matemáticas internacionales (1996), 139-150.
3. "Fórmula determinante para el modelo de seis vértices", AG Izergin et al. 1992 J. Phys. A : Matemáticas. Génesis 25 4315.
4. Fischer, Ilse (2005). "Una nueva prueba del teorema refinado de la matriz de signos alternos". Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 114 (2): 253–264. arXiv : matemáticas / 0507270 . Bibcode : 2005math ...... 7270F . doi : 10.1016 / j.jcta.2006.04.004 .
5. Razumov, AV, Stroganov Yu.G., Cadenas de giro y combinatoria , Journal of Physics A , 34 (2001), 3185-3190.
6. L. Cantini y A. Sportiello, Prueba de la conjetura de Razumov-Stroganov Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 118 (5) , (2011) 1549-1574,

Otras lecturas

• Bressoud, David M. , Pruebas y Confirmaciones , MAA Spectrum, Asociaciones Matemáticas de América, Washington, DC, 1999.
• Bressoud, David M. y Propp, James, Cómo se resolvió la conjetura de la matriz de signos alternos , Notices of the American Mathematical Society , 46 (1999), 637–646.
• Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Prueba de la conjetura de Macdonald, Inventiones Mathematicae , 66 (1982), 73–87.
• Mills, William H., Robbins, David P. y Rumsey, Howard Jr., Matrices de signos alternos y particiones planas descendentes, Journal of Combinatorial Theory, Serie A , 34 (1983), 340–359.
• Propp, James, The many faces of alternating-sign matrices , Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science , Edición especial sobre modelos discretos: combinatoria, computación y geometría (julio de 2001).
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., Naturaleza combinatoria del vector de estado fundamental del modelo de bucle O (1) , Theor. Matemáticas. Phys. , 138 (2004), 333–337.
• Razumov, AV, Stroganov Yu. G., modelo de bucle O (1) con diferentes condiciones de contorno y clases de simetría de matrices de signo alterno], Theor. Matemáticas. Phys. , 142 (2005), 237–243, arXiv : cond-mat / 0108103
• Robbins, David P. , La historia de , The Mathematical Intelligencer , 13 (2), 12-19 (1991), doi : 10.1007 / BF03024081 .${\displaystyle 1,2,7,42,429,7436,\dots }$
• Zeilberger, Doron , Prueba de la conjetura refinada de la matriz de signos alternos , New York Journal of Mathematics 2 (1996), 59–68.

enlaces externos

• Entrada de matriz de signos alternos en MathWorld
• Entrada de matrices de signos alternos en la base de datos FindStat