En física , la ecuación de Yang-Baxter (o relación estrella-triángulo ) es una ecuación de consistencia que se introdujo por primera vez en el campo de la mecánica estadística . Depende de la idea de que en algunas situaciones de dispersión, las partículas pueden conservar su momento mientras cambian sus estados internos cuánticos. Afirma que una matriz, actuando sobre dos de cada tres objetos, satisface
En sistemas cuánticos unidimensionales, es la matriz de dispersión y si satisface la ecuación de Yang-Baxter, entonces el sistema es integrable . La ecuación de Yang-Baxter también aparece cuando se habla de la teoría de los nudos y los grupos de trenzas dondecorresponde a intercambiar dos hebras. Dado que se pueden intercambiar tres hebras de dos maneras diferentes, la ecuación de Yang-Baxter obliga a que ambas rutas sean iguales.
Ilustración de la ecuación de Yang-Baxter
Toma su nombre del trabajo independiente de CN Yang de 1968 y RJ Baxter de 1971.
Forma general de la ecuación de Yang-Baxter dependiente de parámetros
Dejar ser un unital asociativo álgebra . En su forma más general, la ecuación de Yang-Baxter dependiente de parámetros es una ecuación para, un elemento dependiente del parámetro del producto tensorial (aquí, y son los parámetros, que suelen oscilar sobre los números reales ℝ en el caso de un parámetro aditivo, o sobre los números reales positivos ℝ + en el caso de un parámetro multiplicativo).
Dejar por , con homomorfismos de álgebra determinado por
La forma general de la ecuación de Yang-Baxter es
para todos los valores de , y .
Forma independiente de parámetros
Dejar ser un álgebra asociativa unital. La ecuación de Yang-Baxter independiente del parámetro es una ecuación para, un elemento invertible del producto tensorial . La ecuación de Yang-Baxter es
dónde , , y .
Forma alternativa y representaciones del grupo de trenzas.
Dejar ser un módulo de, y . Dejar ser el mapa lineal satisfactorio para todos . La ecuación de Yang-Baxter tiene la siguiente forma alternativa en términos de en .
.
Alternativamente, podemos expresarlo en la misma notación anterior, definiendo , en cuyo caso la forma alternativa es
En el caso especial independiente del parámetro donde no depende de los parámetros, la ecuación se reduce a
Un ansatz común para las soluciones informáticas es la propiedad de diferencia, , donde R depende solo de un único parámetro (aditivo). De manera equivalente, tomando logaritmos, podemos elegir la parametrización, en cuyo caso se dice que R depende de un parámetro multiplicativo. En esos casos, podemos reducir el YBE a dos parámetros libres en una forma que facilite los cálculos:
para todos los valores de y . Para un parámetro multiplicativo, la ecuación de Yang-Baxter es
para todos los valores de y .
Las formas trenzadas se leen como:
En algunos casos, el determinante de puede desaparecer en valores específicos del parámetro espectral . Algunos las matrices se convierten en un proyector unidimensional en . En este caso, se puede definir un determinante cuántico [ aclaración necesaria ] .
Soluciones de ejemplo del YBE dependiente de parámetros
Se puede obtener una clase particularmente simple de soluciones dependientes de parámetros a partir de soluciones del YBE independiente de parámetros que satisfagan , donde la representación del grupo de trenzas correspondiente es una representación del grupo de permutación. En este caso, (equivalentemente, ) es una solución del YBE dependiente del parámetro (aditivo). En el caso donde y , esto da la matriz de dispersión de la cadena de espín XXX de Heisenberg .
H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Actas del 8 ° Taller Internacional de Física Matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Clausthal, RFA, 1989 , Springer-Verlag Berlín, ISBN 3-540-53503-9 .
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