En álgebra lineal , una matriz alternada es una matriz formada aplicando una lista finita de funciones puntualmente a una columna fija de entradas. Un determinante alterno es el determinante de una matriz alternada cuadrada.
Generalmente, si son funciones de un conjunto a un campo , y , entonces la matriz alternada tiene tamaño y está definido por
o, de forma más compacta, . (Algunos autores utilizan la transposición de la matriz anterior). Ejemplos de matrices alternativas incluyen matrices de Vandermonde , para las cualesy matrices de Moore , para las cuales.
Propiedades
- El alternado se puede utilizar para comprobar la independencia lineal de las funciones.en el espacio funcional . Por ejemplo, deja, y elige . Entonces el alternado es la matriz y el determinante alternativo es . Por tanto, M es invertible y los vectores forman una base para su conjunto de expansión: en particular, y son linealmente independientes.
- La dependencia lineal de las columnas de un alternado no implica que las funciones sean linealmente dependientes en el espacio funcional. Por ejemplo, deja, y elige . Entonces el alternado es y el determinante alternado es 0, pero ya hemos visto que y son linealmente independientes.
- A pesar de esto, el alternant puede usarse para encontrar una dependencia lineal si ya se sabe que existe. Por ejemplo, sabemos por la teoría de las fracciones parciales que existen números reales A y B para los cuales. Elegir, , y , obtenemos el alternado. Por lo tantoestá en el espacio nulo de la matriz: es decir,. Moviente al otro lado de la ecuación da la descomposición de la fracción parcial .
- Si y para cualquier , entonces el determinante alterno es cero (ya que se repite una fila).
- Si y las funciones son todos polinomios, entonces divide el determinante alternativo para todos . En particular, si V es una matriz de Vandermonde , entoncesdivide tales determinantes alternos polinomiales. El radio es por tanto un polinomio en llamado el bialternant . El polinomio de Schur se define clásicamente como el bialternant de los polinomios .
Aplicaciones
- Las matrices alternativas se utilizan en la teoría de la codificación en la construcción de códigos alternativos .
Ver también
Referencias
- Thomas Muir (1960). Un tratado sobre la teoría de los determinantes . Publicaciones de Dover . págs. 321 –363.
- AC Aitken (1956). Determinantes y Matrices . Oliver y Boyd Ltd. págs. 111-123.
- Richard P. Stanley (1999). Combinatoria enumerativa . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 334 –342.