En álgebra, el complejo de Amitsur es un complejo natural asociado a un homomorfismo de anillo . Fue introducido por Shimshon Amitsur ( 1959 ). Cuando el homomorfismo es fielmente plano , el complejo de Amitsur es exacto (determinando así una resolución), que es la base de la teoría del descenso fielmente plano .
La noción debe pensarse como un mecanismo para ir más allá de la localización convencional de anillos y módulos . [1]
Dejar
ser un homomorfismo de anillos (no necesariamente conmutativos). Primero defina el conjunto cosimplicial
(dónde
se refiere a
, no
) como sigue. Definir los mapas faciales
insertando 1 en el i -ésimo lugar: [nota 1]
![{\displaystyle d^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_{i}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definir las degeneraciones
multiplicando los puntos i -ésimo y ( i + 1) -ésimo:
![{\displaystyle s^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i}x_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Satisfacen las identidades cosimpliciales "obvias" y, por lo tanto,
es un conjunto cosimplicial. Luego determina el complejo con el aumento.
, el complejo Amitsur : [2]
![{\displaystyle 0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
Estuche fielmente plano
En las notaciones anteriores, si
es fielmente plano, entonces un teorema de Alexander Grothendieck establece que el complejo (aumentado)
es exacta y, por tanto, es una resolución. De manera más general, si
es fielmente plano a la derecha, entonces, para cada módulo R izquierdo M ,
![{\displaystyle 0\to M\to S\otimes _{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes _{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes _{R}M\to \cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es exacto. [3]
Prueba :
Paso 1 : La afirmación es verdadera si
se divide como un homomorfismo de anillo.
Que "
divisiones "es decir
para algo de homomorfismo
(
es una retractación y
una sección). Dado tal
, definir
![{\displaystyle h\colon S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
por
![{\displaystyle {\begin{aligned}&h(x_{0}\otimes m)=\rho (x_{0})\otimes m,\\&h(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x_{0}))x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m.\end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un cálculo sencillo muestra la siguiente identidad: con
,
.
Esto quiere decir que h es un operador de homotopía y, por tanto,
determina el mapa cero en cohomología: es decir, el complejo es exacto.
Paso 2 : La afirmación es verdadera en general.
Comentamos que
es una sección de
. Por lo tanto, el Paso 1 se aplicó al homomorfismo de anillo dividido.
implica:
![{\displaystyle 0\to M_{S}\to T\otimes _{S}M_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes _{S}M_{S}\to \cdots ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
dónde
, es exacta. Desde
, etc., por "fielmente plano", la secuencia original es exacta.
El caso de la topología de arco
Bhargav Bhatt y Peter Scholze ( 2019 , §8) muestran que el complejo de Amitsur es exacto si R y S son anillos perfectos (conmutativos) , y se requiere que el mapa sea una cobertura en la topología del arco (que es una condición más débil que ser una tapa en la topología plana ).