El descenso fielmente plano es una técnica de geometría algebraica que permite sacar conclusiones sobre objetos en el objetivo de un morfismo fielmente plano . Tales morfismos, que son planos y sobreyectivos, son comunes, un ejemplo proviene de una cubierta abierta.
En la práctica, desde un punto de vista afín, esta técnica permite probar alguna afirmación sobre un anillo o esquema después de un cambio de base fielmente plano.
El descenso fielmente plano de "vainilla" es generalmente falso; en cambio, el descenso fielmente plano es válido bajo algunas condiciones de finitud (por ejemplo, cuasi-compacto o localmente de presentación finita).
Un descenso fielmente plano es un caso especial del teorema de la monadicidad de Beck . [1]
Forma básica
Dejar ser un homomorfismo de anillo fielmente plano . Dado un-módulo , obtenemos el -módulo y porqué es fielmente plano, tenemos la inclusión . Además, tenemos el isomorfismo de -módulos inducidos por el isomorfismo y que cumpla la condición de ciclo:
dónde se dan como: [2]
con . Tenga en cuenta los isomorfismos están determinados solo por y no involucrar
Ahora, la forma más básica de descenso fielmente plano dice que la construcción anterior puede invertirse; es decir, dado un-módulo y un -isomorfismo del módulo tal que , un submódulo invariante:
es tal que . [3]
Descenso de Zariski
La ascendencia Zariski se refiere simplemente al hecho de que se puede obtener una gavilla casi coherente pegándolas en una cubierta abierta (Zariski-). Es un caso especial de descenso fielmente plano, pero se utiliza con frecuencia para reducir el problema del descenso al caso afín.
En detalles, dejemos denotar la categoría de haces cuasi-coherentes en un esquema X . Luego, la descendencia de Zariski afirma que, dadas gavillas cuasi coherentes en subconjuntos abiertos con e isomorfismos tal que (1) y 2) en , entonces existe una gavilla única cuasi coherente en X tal que de una manera compatible (es decir, se restringe a ). [4]
En un lenguaje elegante, la ascendencia Zariski afirma que, con respecto a la topología Zariski, es una pila ; es decir, una categoría equipado con el functor la categoría de esquemas (relativos) que tiene una teoría de descendencia efectiva. Aquí, deja denotar la categoría que consta de pares que consta de un subconjunto abierto (Zariski) U y una gavilla casi coherente sobre él y el functor olvidadizo .
Descenso para poleas cuasi coherentes
Hay una declaración sucinta para el resultado principal en esta área: (el apilamiento previo de roldanas cuasi coherentes sobre un esquema S significa que, para cualquier esquema S X , cada punto X del apilamiento previo es un haz cuasi coherente en X .)
Teorema : el apilamiento previo de poleas cuasi coherentes sobre un esquema base S es un apilamiento con respecto a la topología fpqc . [5]
La prueba utiliza el descenso de Zariski y el descenso fielmente plano en el caso afín.
Aquí no se puede eliminar "cuasi-compacto"; ver https://mathoverflow.net/questions/127362/counter-example-to-faithfully-flat-descent/
Ver también
Notas
- ^ Deligne, Pierre (1990), Catégories Tannakiennes, Grothendieck Festschrift, vol. II , Progress in Math., 87 , Birkhäuser, págs. 111–195
- ^ Waterhouse , 1979 , sección 17.1.
- ^ Waterhouse , 1979 , sección 17.2.
- ^ Hartshorne , cap. II, Ejercicio 1.22. ; NB: dado que "cuasi-coherente" es una propiedad local, pegar gavillas cuasi-coherentes da como resultado una cuasi-coherente.
- ^ Fantechi, Barbara (2005). Geometría algebraica fundamental: explicación de FGA de Grothendieck . American Mathematical Soc. pag. 82. ISBN 9780821842454. Consultado el 3 de marzo de 2018 .
Referencias
- SGA 1 , Ch VIII - esta es la referencia principal
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Street, Ross (20 de marzo de 2003). "Aspectos categóricos y combinatorios de la teoría de la descendencia". arXiv : matemáticas / 0303175 . (una discusión detallada de una categoría de 2)
- Angelo Vistoli, Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías de fibras y teoría de la descendencia (actualizado el 2 de septiembre de 2008)
- Waterhouse, William (1979), Introducción a los esquemas de grupos afines , Textos de posgrado en matemáticas, 66 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-6217-6 , ISBN 978-0-387-90421-4, MR 0547117