Geometría Anabelian es una teoría en la teoría de los números , que describe la forma en que el grupo algebraico fundamental G de una cierta variedad aritmética V , o algún objeto geométrico relacionado, puede ayudar a restaurar V . Los primeros resultados para los campos numéricos y sus grupos absolutos de Galois fueron obtenidos por Jürgen Neukirch , Masatoshi Gündüz Ikeda , Kenkichi Iwasawa y Kôji Uchida ( teorema de Neukirch-Uchida ) antes de las conjeturas hechas sobre curvas hiperbólicas sobre campos numéricos por Alexander Grothendieck . Como se introdujo en el programa Esquisse d'unlos últimos trataban sobre cómo los homomorfismos topológicos entre dos grupos aritméticos fundamentales de dos curvas hiperbólicas sobre campos numéricos corresponden a mapas entre las curvas. Estas conjeturas de Grothendieck fueron parcialmente resueltas por Hiroaki Nakamura y Akio Tamagawa , mientras que Shinichi Mochizuki dio pruebas completas .
Más recientemente, Mochizuki introdujo y desarrolló una así llamada geometría mono-anabeliana que restaura, para una cierta clase de curvas hiperbólicas sobre campos numéricos o algunos otros campos, la curva de su grupo fundamental algebraico. Los resultados clave de la geometría mono-anabeliana se publicaron en Mochizuki's "Topics in Absolute Anabelian Geometry".
La geometría anabeliana puede verse como una de las generalizaciones de la teoría de campos de clases . A diferencia de otras dos generalizaciones, la teoría abeliana de campos de clase superior y el programa de Langlands teórico de la representación, la geometría anabeliana es altamente no lineal y no abeliana.
Formulación de una conjetura de Grothendieck sobre curvas.
La "pregunta anabeliana" se ha formulado como
¿Cuánta información sobre la clase de isomorfismo de la variedad X contiene el conocimiento del grupo fundamental étale ? [1]
Un ejemplo concreto es el caso de las curvas, que pueden ser tanto afines como proyectivas. Supongamos que dada una curva hiperbólica C , es decir, el complemento de n puntos en una curva algebraica proyectiva del género g , considerada suave e irreductible, definida sobre un campo K que se genera finitamente (sobre su campo principal ), tal que
- .
Grothendieck conjeturó que el grupo fundamental algebraico G de C , un grupo profinito , determina C en sí mismo (es decir, la clase de isomorfismo de G determina la de C ). Esto fue probado por Mochizuki. [2] Un ejemplo es para el caso de(la línea proyectiva ) y, cuando la clase de isomorfismo de C está determinada por la relación cruzada en K de los cuatro puntos eliminados (casi, hay un orden para los cuatro puntos en una relación cruzada, pero no en los puntos eliminados). [3] También hay resultados para el caso de K un campo local . [4]
Ver también
Notas
- ^ Schneps, Leila (1997). "Gran marcha de Grothendieck a través de la teoría de Galois " " . En Schneps; Lochak, Pierre (eds.). Acciones geométricas de Galois. 1 . Serie de notas de conferencia de la London Mathematical Society. 242 . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 59–66. Señor 1483109 .
- ^ Mochizuki, Shinichi (1996). "La conjetura profinita de Grothendieck para curvas hiperbólicas cerradas sobre campos numéricos". J. Math. Sci. Univ. Tokio . 3 (3): 571–627. hdl : 2261/1381 . Señor 1432110 .
- ^ Ihara, Yasutaka; Nakamura, Hiroaki (1997). "Algunos ejemplos ilustrativos de geometría anabeliana en grandes dimensiones" (PDF) . En Schneps, Leila ; Lochak, Pierre (eds.). Acciones geométricas de Galois. 1 . Serie de notas de conferencia de la London Mathematical Society. 242 . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 127-138. Señor 1483114 .
- ^ Mochizuki, Shinichi (2003). "La geometría anabeliana absoluta de las curvas canónicas" (PDF) . Documenta Mathematica . Vol. Extra, quincuagésimo cumpleaños de Kazuya Kato: 609–640. Señor 2046610 .
enlaces externos
- Tamás Szamuely. "Conferencias de Heidelberg sobre grupos fundamentales" (PDF) . sección 5.
- La conjetura de Grothendieck sobre los grupos fundamentales de curvas algebraicas. http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nakamura/zoo/rhino/NTM300.pdf
- Grupos aritméticos fundamentales y módulos de curvas. http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns001/Matsumoto/Matsumoto.pdf
- Fundamentos y perspectivas de la geometría anabeliana, taller de RIMS, del 28 de junio al 2 de julio de 2021. https://www.maths.nottingham.ac.uk/plp/pmzibf/files/May2020.html
- Alexander Grothendieck. "La Longue Marche à Travers la Théorie de Galois" (PDF) .
- Pop, Florian (1994), "Sobre la conjetura de Grothendieck de la geometría anabeliana biracional", Annals of Mathematics , (2), 139 (1): 145-182, doi : 10.2307 / 2946630 , JSTOR 2946630 , MR 1259367