El étale o grupo fundamental algebraico es un análogo en geometría algebraica , para esquemas , del grupo fundamental habitual de espacios topológicos .
Discusión topológica analógica / informal
En topología algebraica , el grupo fundamental π 1 ( X , x ) de un espacio topológico puntiagudo ( X , x ) se define como el grupo de clases de homotopía de bucles basados en x . Esta definición funciona bien para espacios como variedades reales y complejas , pero da resultados indeseables para una variedad algebraica con la topología de Zariski .
En la clasificación de los espacios de cobertura, se muestra que el grupo fundamental es exactamente el grupo de transformaciones de cubierta del espacio de cobertura universal . Esto es más prometedor: los morfismos étale finitos son el análogo apropiado de cubrir espacios . Por desgracia, una variedad algebraica X a menudo no tienen una "cobertura universal" que es finita sobre X , por lo que hay que considerar toda la categoría de los revestimientos étalé finitas de X . Entonces se puede definir el grupo fundamental étale como un límite inverso de grupos de automorfismos finitos .
Definicion formal
Dejar ser un esquema conectado y localmente noetheriano , dejemosser un punto geométrico de y deja ser la categoría de parejas tal que es un morfismo étale finito de un esquema Morfismos en esta categoría están los morfismos como esquemas sobreEsta categoría tiene un functor natural para la categoría de conjuntos, a saber, el functor
geométricamente esta es la fibra de encima y abstractamente es el functor de Yoneda representado por en la categoría de esquemas sobre . El functor normalmente no es representable en ; sin embargo, es pro-representable en, de hecho por las portadas de Galois de . Esto significa que tenemos un sistema proyectivo en , indexado por un conjunto dirigido donde el son las portadas de Galois de, es decir, esquemas étale finitos sobre tal que . [1] También significa que hemos dado un isomorfismo de functores
- .
En particular, tenemos un punto marcado del sistema proyectivo.
Para dos tales el mapa induce un homomorfismo grupal que produce un sistema proyectivo de grupos de automorfismo a partir del sistema proyectivo . Luego hacemos la siguiente definición: el grupo fundamental étale de a es el límite inverso
con la topología de límite inverso.
El functor ahora es un functor de a la categoría de finito y continuo -configura, y establece una equivalencia de categorías entre y la categoría de finito y continuo -conjuntos. [2]
Ejemplos y teoremas
El ejemplo más básico de un grupo fundamental es π 1 (Spec k ), el grupo fundamental de un campo k . Esencialmente, por definición, se puede demostrar que el grupo fundamental de k es isomorfo al grupo Galois absoluto Gal ( k sep / k ). Más precisamente, la elección de un punto geométrico de Spec ( k ) es equivalente a dar un campo de extensión cerrado separablemente K , y el grupo fundamental con respecto a ese punto base se identifica con el grupo Galois Gal ( K / k ). Esta interpretación del grupo de Galois se conoce como teoría de Galois de Grothendieck .
De manera más general, para cualquier variedad X conectada geométricamente sobre un campo k (es decir, X es tal que X sep : = X × k k sep está conectado) hay una secuencia exacta de grupos profinitos
- 1 → π 1 ( X sep , x ) → π 1 ( X , x ) → Gal ( k sep / k ) → 1.
Esquemas sobre un campo de característica cero
Para un esquema X que es de tipo finito sobre C , los números complejos, hay una estrecha relación entre el grupo fundamental étale de X y el topológico grupo fundamental de costumbre,, de X ( C ), el espacio analítico complejo unido a X . El grupo fundamental algebraico, como se le suele llamar en este caso, es la compleción profinita de π 1 ( X ). Esto es una consecuencia del teorema de existencia de Riemann , que dice que todos los revestimientos étalé finitas de X ( C ) se derivan de los de X . En particular, como el grupo fundamental de curvas suaves sobre C (es decir, superficies abiertas de Riemann) se conoce bien; esto determina el grupo fundamental algebraico. De manera más general, se conoce el grupo fundamental de un esquema adecuado sobre cualquier campo algebraicamente cerrado de característica cero, porque una extensión de campos algebraicamente cerrados induce grupos fundamentales isomórficos.
Esquemas sobre un campo de característica positiva y el grupo fundamental domesticado
Para un campo k algebraicamente cerrado de característica positiva, los resultados son diferentes, ya que existen coberturas de Artin-Schreier en esta situación. Por ejemplo, el grupo fundamental de la línea afín no se genera topológicamente de forma finita . El grupo fundamental dócil de algún esquema U es un cociente del grupo habitual fundamental de U que tiene en cuenta sólo las cubiertas que se ramifican a lo largo mansamente D , en donde X es un poco de compactación y D es el complemento de U en X . [3] [4] Por ejemplo, el grupo fundamental domesticado de la línea afín es cero.
Esquemas afines sobre un campo de característica p
Resulta que todos los esquemas afines es un -espacio, en el sentido de que el tipo de homotopía etale de está completamente determinado por su grupo de homotopía etale. [5] Nota dónde es un punto geométrico.
Otros temas
Desde una categoría-teórico punto de vista, el grupo fundamental es un funtor
- { Variedades algebraicas puntiagudas } → { Grupos profesionales }.
El problema inverso de Galois pregunta qué grupos pueden surgir como grupos fundamentales (o grupos de Galois de extensiones de campo). La geometría anabeliana , por ejemplo la conjetura de la sección de Grothendieck , busca identificar clases de variedades determinadas por sus grupos fundamentales. [6]
Friedlander (1982) estudia grupos de homotopía de étale superior mediante el tipo de homotopía de étale de un esquema.
El grupo fundamental pro-étale
Bhatt & Scholze (2015 , §7) han introducido una variante del grupo fundamental étale llamado grupo fundamental pro-étale . Se construye considerando, en lugar de cubiertas de étale finitas, mapas que son a la vez étale y satisfacen el criterio de valoración de la propiedad . Para esquemas geométricamente unibranch (por ejemplo, esquemas normales), los dos enfoques concuerdan, pero en general el grupo fundamental pro-étale es un invariante más fino: su compleción profinita es el grupo fundamental étale.
Ver también
- morfismo étale
- Grupo fundamental
- Esquema de grupo fundamental
Notas
- ^ JS Milne, Conferencias sobre Étale Cohomology , versión 2.21: 26-27
- ^ Grothendieck, Alexandre ; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3 ) , París: Société Mathématique de France , págs. Xviii + 327 , ver Exp. V, IX, X, arXiv : matemáticas.AG / 0206203 , ISBN 978-2-85629-141-2
- ^ Grothendieck, Alexander ; Murre, Jacob P. (1971), El grupo fundamental domesticado de un vecindario formal de un divisor con cruces normales en un esquema , Lecture Notes in Mathematics, vol. 208, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
- ^ Schmidt, Alexander (2002), "Tame cubiertas de esquemas aritméticos", Mathematische Annalen , 322 (1): 1–18, arXiv : math / 0005310 , doi : 10.1007 / s002080100262 , S2CID 29899627
- ^ Achinger, Piotr (noviembre de 2017). "Ramificación salvaje y espacios K (pi, 1)". Inventiones Mathematicae . 210 (2): 453–499. arXiv : 1701.03197 . doi : 10.1007 / s00222-017-0733-5 . ISSN 0020-9910 . S2CID 119146164 .
- ↑ (Tamagawa 1997 )
Referencias
- Bhatt, Bhargav; Scholze, Peter (2015), "La topología pro-étale para esquemas", Astérisque : 99-201, arXiv : 1309.1198 , Bibcode : 2013arXiv1309.1198B , MR 3379634
- Friedlander, Eric M. (1982), Étale homotopy of simplicial esquemas , Annals of Mathematics Studies, 104 , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08288-2
- Murre, JP (1967), Conferencias sobre una introducción a la teoría del grupo fundamental de Grothendieck , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650
- Tamagawa, Akio (1997), "La conjetura de Grothendieck para curvas afines", Compositio Mathematica , 109 (2): 135-194, doi : 10.1023 / A: 1000114400142 , MR 1478817
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