En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco es un conjunto analítico si es una imagen continua de un espacio polaco. Estos conjuntos fueron definidos por primera vez por Luzin (1917) y su alumno Souslin (1917) .
Definición
Hay varias definiciones equivalentes de conjunto analítico. Las siguientes condiciones en un subespacio A de un espacio polaco X son equivalentes:
- A es analítica.
- A es una imagen vacía o continua del espacio de Baire ω ω .
- A es un espacio de Suslin , en otras palabras, A es la imagen de un espacio polaco bajo un mapeo continuo.
- A es la imagen continua de un Borel ambientado en un espacio polaco.
- A es un set de Suslin , la imagen de la operación Suslin .
- Hay un espacio polaco y un set de Borel tal que es la proyección de; es decir,
- A es la proyección de un conjunto cerrado en el producto cartesiano de X con el espacio de Baire.
- A es la proyección de un conjunto G δ en el producto cartesiano de X con el espacio de Cantor .
Una caracterización alternativa, en el caso específico e importante de que es el espacio de Baire ω ω , es que los conjuntos analíticos son precisamente las proyecciones de árboles en. De manera similar, los subconjuntos analíticos del espacio de Cantor 2 ω son precisamente las proyecciones de árboles en.
Propiedades
Los subconjuntos analíticos de espacios polacos están cerrados bajo uniones e intersecciones contables, imágenes continuas e imágenes inversas. El complemento de un conjunto analítico no necesita ser analítico. Suslin demostró que si el complemento de un conjunto analítico es analítico, entonces el conjunto es Borel. (A la inversa, cualquier conjunto de Borel es analítico y los conjuntos de Borel se cierran bajo complementos). Luzin demostró de manera más general que dos conjuntos analíticos disjuntos cualesquiera están separados por un conjunto de Borel: en otras palabras, hay un conjunto de Borel que contiene uno y está separado del otro. Esto a veces se denomina "principio de separabilidad de Luzin" (aunque estaba implícito en la demostración del teorema de Suslin).
Los conjuntos analíticos son siempre mensurables según Lebesgue (de hecho, mensurables universalmente ) y tienen la propiedad de Baire y la propiedad del conjunto perfecto .
Jerarquía proyectiva
Los conjuntos analíticos también se denominan (ver jerarquía proyectiva ). Tenga en cuenta que la fuente en negrita en este símbolo no es la convención de Wikipedia, sino que se usa distintivamente de su contraparte de lightface(ver jerarquía analítica ). Los complementos de los conjuntos analíticos se denominan conjuntos coanalíticos , y el conjunto de conjuntos coanalíticos se denota por. La intersección es el conjunto de conjuntos de Borel.
Ver también
Referencias
- El'kin, AG (2001) [1994], "Conjunto analítico" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Efimov, BA (2001) [1994], "Principios de separabilidad de Luzin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Kechris, AS (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
- Luzin, NN (1917), "Sur la clasificación de M. Baire", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 164 : 91–94 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- NN Lusin, "Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications", Gauthier-Villars (1930)
- Moschovakis, Yiannis N. (1980), Teoría de conjuntos descriptivos , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-70199-0 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Martin, Donald A .: Cardenales medibles y juegos analíticos. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), pág. 287-291.
- Souslin, M. (1917), "Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis", Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 164 : 88–91 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )