En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjuntode un espacio polaco es proyectiva si es para algún entero positivo . Aquí es
- Si es analítico
- si el complemento de, , es
- si hay un espacio polaco y un subconjunto tal que es la proyección de ; es decir,
La elección del espacio polaco en la tercera cláusula anterior no es muy importante; podría ser reemplazado en la definición por un espacio polaco incontable fijo, digamos el espacio de Baire o el espacio de Cantor o la línea real .
Relación con la jerarquía analítica
Existe una estrecha relación entre la jerarquía analítica relativizada en subconjuntos del espacio de Baire (denotado por letras lightface y ) y la jerarquía proyectiva en subconjuntos del espacio de Baire (indicado por letras en negrita y ). No todos subconjunto del espacio de Baire es . Sin embargo, es cierto que si un subconjunto X del espacio de Baire esentonces hay un conjunto de números naturales A tal que X es. Una afirmación similar vale paraconjuntos. Así, los conjuntos clasificados por la jerarquía proyectiva son exactamente los conjuntos clasificados por la versión relativizada de la jerarquía analítica. Esta relación es importante en una teoría descriptiva de conjuntos eficaz .
Una relación similar entre la jerarquía proyectiva y la jerarquía analítica relativizada es válida para subconjuntos del espacio de Cantor y, más generalmente, subconjuntos de cualquier espacio polaco efectivo .
Mesa
Lightface | Negrita | ||
Σ0 0 = Π0 0 = Δ0 0 (a veces lo mismo que Δ0 1) | Σ0 0= Π0 0= Δ0 0 (si está definido) | ||
Δ0 1= recursivo | Δ0 1= abierto | ||
Σ0 1= recursivamente enumerable | Π0 1 = recursivamente enumerable | Σ0 1= G = abierto | Π0 1= F = cerrado |
Δ0 2 | Δ0 2 | ||
Σ0 2 | Π0 2 | Σ0 2= F σ | Π0 2= G δ |
Δ0 3 | Δ0 3 | ||
Σ0 3 | Π0 3 | Σ0 3= G δσ | Π0 3= F σδ |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 <ω = Π0 <ω = Δ0 <ω = Σ1 0 = Π1 0 = Δ1 0= aritmético | Σ0 <ω= Π0 <ω= Δ0 <ω= Σ1 0= Π1 0= Δ1 0 = aritmética en negrita | ||
⋮ | ⋮ | ||
Δ0 α(α recursivo ) | Δ0 α(α contable ) | ||
Σ0 α | Π0 α | Σ0 α | Π0 α |
⋮ | ⋮ | ||
Σ0 ωCK 1 = Π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ1 1= hiperaritmético | Σ0 ω 1= Π0 ω 1= Δ0 ω 1= Δ1 1= B = Borel | ||
Σ1 1 = analítica de cara clara | Π1 1 = coanalítico de cara clara | Σ1 1= A = analítico | Π1 1= CA = coanalítico |
Δ1 2 | Δ1 2 | ||
Σ1 2 | Π1 2 | Σ1 2 = PCA | Π1 2 = CPCA |
Δ1 3 | Δ1 3 | ||
Σ1 3 | Π1 3 | Σ1 3 = PCPCA | Π1 3 = CPCPCA |
⋮ | ⋮ | ||
Σ1 <ω = Π1 <ω = Δ1 <ω = Σ2 0 = Π2 0 = Δ2 0= analítico | Σ1 <ω= Π1 <ω= Δ1 <ω= Σ2 0= Π2 0= Δ2 0= P = proyectiva | ||
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Referencias
- Kechris, AS (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
- Rogers, Hartley (1987) [1967], The Theory of Recursive Functions and Effective Computability , Primera edición de bolsillo de prensa del MIT, ISBN 978-0-262-68052-3