En geometría , topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un conjunto cerrado es un conjunto cuyo complemento es un conjunto abierto . [1] [2] En un espacio topológico , un conjunto cerrado se puede definir como un conjunto que contiene todos sus puntos límite . En un espacio métrico completo , un conjunto cerrado es un conjunto que se cierra por debajo de la operación límite . Esto no debe confundirse con un colector cerrado .
Definiciones equivalentes de un conjunto cerrado
Por definición, un subconjunto de un espacio topológico se llama cerrado si su complemento es un subconjunto abierto de ; eso es, si Un conjunto está cerrado en si y solo si es igual a su cierre enDe manera equivalente, un conjunto se cierra si y solo si contiene todos sus puntos límite . Otra definición equivalente más es que un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de frontera . Cada subconjuntosiempre está contenido en su cierre (topológico) en que se denota por eso es, si luego Es más, es un subconjunto cerrado de si y solo si
Una caracterización alternativa de conjuntos cerrados está disponible a través de secuencias y redes . Un subconjunto de un espacio topológico está cerrado en si y solo si cada límite de cada red de elementos de también pertenece a En un primer espacio contable (como un espacio métrico), es suficiente considerar solo las secuencias convergentes , en lugar de todas las redes. Un valor de esta caracterización es que puede utilizarse como definición en el contexto de los espacios de convergencia , que son más generales que los espacios topológicos. Tenga en cuenta que esta caracterización también depende del espacio circundante. porque si una secuencia o una red convergen en depende de qué puntos están presentes en Un punto en se dice que está cerca de un subconjunto Si (o de manera equivalente, si pertenece al cierre de en el subespacio topológico significado dónde está dotado de la topología subespacial inducida en él por[nota 1] ). Porque el cierre de en es, pues, el conjunto de todos los puntos en que están cerca de esta terminología permite una descripción sencilla en inglés de subconjuntos cerrados:
- un subconjunto se cierra si y solo si contiene todos los puntos que están cerca de él.
En términos de convergencia neta, un punto está cerca de un subconjunto si y solo si existe algo neto (valorado) en que converge a Si es un subespacio topológico de algún otro espacio topológico en ese caso se llama un superespacio topológico deentonces podría existir algún punto en que esta cerca de (aunque no es un elemento de ), que es como es posible para un subconjunto estar encerrado en pero no estar encerrado en el superespacio circundante "más grande" Si y si es cualquier superespacio topológico de luego es siempre un subconjunto (potencialmente adecuado) de que denota el cierre de en de hecho, incluso si es un subconjunto cerrado de (que sucede si y solo si ), no obstante, todavía es posible para ser un subconjunto adecuado de Sin emabargo, es un subconjunto cerrado de si y solo si para algunos (o de manera equivalente, para cada) superespacio topológico de
Los conjuntos cerrados también se pueden utilizar para caracterizar funciones continuas : un mapaes continuo si y solo si para cada subconjunto ; esto se puede reformular en inglés simple como: es continuo si y solo si para cada subconjunto mapea puntos que están cerca de a puntos cercanos a Similar, es continuo en un punto dado fijo si y solo si siempre está cerca de un subconjunto luego esta cerca de
Más sobre sets cerrados
La noción de conjunto cerrado se define anteriormente en términos de conjuntos abiertos , un concepto que tiene sentido para los espacios topológicos , así como para otros espacios que llevan estructuras topológicas, como los espacios métricos , las variedades diferenciables , los espacios uniformes y los espacios de calibre .
El hecho de que un conjunto esté cerrado depende del espacio en el que esté empotrado. Sin embargo, los espacios compactos de Hausdorff están " absolutamente cerrados ", en el sentido de que, si integra un espacio compacto de Hausdorff en un espacio arbitrario de Hausdorff luego siempre será un subconjunto cerrado de ; el "espacio circundante" no importa aquí. La compactación de Stone-Čech , un proceso que convierte un espacio de Hausdorff completamente regular en un espacio de Hausdorff compacto, puede describirse como límites contiguos de ciertas redes no convergentes al espacio.
Además, cada subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, y cada subespacio compacto de un espacio de Hausdorff está cerrado.
Los conjuntos cerrados también dan una caracterización útil de la compacidad: un espacio topológico es compacto si y solo si cada colección de subconjuntos cerrados no vacíos de con intersección vacía admite una subcolección finita con intersección vacía.
Un espacio topológico está desconectado si existen subconjuntos separados, no vacíos, abiertos y de cuya unión es Además, está totalmente desconectado si tiene una base abierta formada por conjuntos cerrados.
Propiedades de los conjuntos cerrados
Un conjunto cerrado contiene su propio límite . En otras palabras, si está "fuera" de un conjunto cerrado, puede moverse una pequeña cantidad en cualquier dirección y aún permanecer fuera del conjunto. Tenga en cuenta que esto también es cierto si el límite es el conjunto vacío, por ejemplo, en el espacio métrico de números racionales, para el conjunto de números cuyo cuadrado es menor que
- Cualquier intersección de cualquier familia de conjuntos cerrados es cerrada (esto incluye intersecciones de infinitos conjuntos cerrados)
- Se cierra la unión de un número finito de conjuntos cerrados.
- El conjunto vacío está cerrado.
- Todo el set está cerrado.
De hecho, si se le da un conjunto y una colección de subconjuntos de tal que los elementos de tiene las propiedades enumeradas anteriormente, entonces existe una topología única en tal que los subconjuntos cerrados de son exactamente esos conjuntos que pertenecen a La propiedad de intersección también permite definir el cierre de un conjunto. en un espacio que se define como el subconjunto cerrado más pequeño de eso es un superconjunto de En concreto, el cierre de puede construirse como la intersección de todos estos superconjuntos cerrados.
Los conjuntos que se pueden construir como la unión de muchos conjuntos cerrados numerables se denominan conjuntos F σ . Estos conjuntos no necesitan estar cerrados.
Ejemplos de conjuntos cerrados
- El intervalo cerrado de números reales está cerrado. (Consulte Intervalo (matemáticas) para obtener una explicación de la notación del conjunto de corchetes y paréntesis).
- El intervalo de la unidad está cerrado en el espacio métrico de los números reales, y el conjunto de números racionales entre y (inclusive) está cerrado en el espacio de los números racionales, pero no está cerrado en números reales.
- Algunos conjuntos no están abiertos ni cerrados, por ejemplo, el intervalo semiabierto en números reales.
- Algunos conjuntos son tanto abiertos como cerrados y se denominan conjuntos abiertos .
- El rayo está cerrado.
- El conjunto de Cantor es un conjunto cerrado inusual en el sentido de que consta completamente de puntos límite y no es denso en ninguna parte.
- Los puntos singleton (y por lo tanto los conjuntos finitos) se cierran en los espacios de Hausdorff .
- El conjunto de enteros es un conjunto cerrado infinito e ilimitado en los números reales.
- Si es una función entre espacios topológicos entonces es un continuo si y solo si preimágenes de conjuntos cerrados en están cerrados en
Ver también
- Conjunto clopen : subconjunto que está abierto y cerrado
- Mapa cerrado
- Conjunto abierto : subconjunto básico de un espacio topológico
- Vecindario
- Región (matemáticas) : subconjunto matemático de un espacio
- Conjunto cerrado regular
Notas
- ^ En particular, ya sea que esta cerca de depende solo del subespacio y no en todo el espacio circundante (p. ej. o cualquier otro espacio que contenga como subespacio topológico).
Referencias
- ^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). [Prentice Hall]]. ISBN 0-13-181629-2.
- Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Dugundji, James (1966). Topología . Boston: Allyn y Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485 .
- Schechter, Eric (1996). Manual de análisis y sus fundamentos . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
- Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general . Dover Books on Mathematics (Primera ed.). Mineola, NY : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240 .